O conhecimento da forma pela qual se dá a propagação de ondas eletromagnéticas em guias de ondas tem enorme importância para diversas áreas de aplicação da teoria eletromagnética. Em particular, encontra enorme aplicação no campo das telecomunicações como, por exemplo, na construção de fibras óticas ou em sistemas de microondas. Considere a situação mostrada na figura abaixo em que se tem dois planos metálicos infinitos, dados por !$ y=0 !$ e !$ y=a !$, além de um campo elétrico linearmente polarizado na direção !$ x !$ (condição de polarização TE, transversal elétrica). Considere ainda que o vetor de onda da radiação !$ \vec{K} !$ faz um ângulo !$ \theta !$ com o eixo !$ y !$.

A imposição de condições de contorno nos dois planos para a solução geral do problema (a solução da equação de onda) implica numa solução para o vetor campo elétrico !$ \vec{E} !$ com amplitude !$ E !$. Considerando r que !$ \hat{i} !$, !$ \hat{j} !$, !$ \hat{k} !$ são os vetores unitários nas direções !$ x !$, !$ y !$ e !$ z !$, respectivamente, que !$ \omega !$ é a freqüência angular da onda incidente e que !$ i = \sqrt{-1} !$, assinale a opção que apresenta a solução correta para !$ \vec{E} !$.

Considere um plano infinito (posicionado sobre o plano matemático !$ xy !$) na superfície do qual existe uma densidade de corrente por unidade de comprimento, uniforme, dada por !$ \vec{J} = K\hat{i} !$, em que !$ K !$ é uma constante. Assumindo que !$ \hat{i} !$, !$ \hat{j} !$, !$ \hat{k} !$ são os vetores unitários nas direções !$ x !$, !$ y !$ e !$ z !$, respectivamente, que !$ \mu_0 !$ é a permeabilidade magnética e considerando a lei de Ampère, assinale a opção que corresponde à expressão correta para a indução magnética !$ \vec{B} !$.

Um cilindro longo de raio !$ a !$ é atravessado por uma densidade de corrente dada por !$ \vec{J} = Jr\hat{k} !$, onde !$ r !$ é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Assinale a opção que apresenta a expressão correta para o módulo da indução magnética no interior do cilindro.

O Eletromagnetismo foi uma das teorias desenvolvidas no século XIX. Faraday, Maxwell, Oersted e muitos outros se encontram entre os pioneiros desta área. A eletrostática e a magnetostática se constituíram em etapas iniciais e foram, posteriormente, unificadas pelas conhecidas Equações de Maxwell.

Considere um cilindro metálico de raio a descarregado e infinito, com seu eixo de simetria ao longo do eixo !$ z !$, na presença de um campo elétrico uniforme de módulo !$ E_0 !$ apontando na direção !$ x !$. Assumindo coordenadas cilíndricas, em que !$ \vec{r} = (r, \theta, z) !$, onde !$ \theta !$ é o ângulo entre !$ \vec{r} !$ e o eixo !$ x !$, julgue os itens a seguir.

I Uma das condições de contorno é dada pelo potencial no infinito, representado por !$ \varphi (r \rightarrow \infty) = -E_0 r \text{ cos } \theta !$. Esta condição de contorno implica na eliminação de todas as potências positivas de !$ r !$ da solução, excetuando-se a potência n=1.

II Uma outra condição de contorno é a imposição de que !$ \dfrac {\partial \varphi} {\partial \theta} !$ sobre a superfície do cilindro deve se anular.

III A solução completa para a equação de Laplace, em coordenadas cilíndricas, é dada por uma expansão da forma !$ \varphi (r, \theta) = A_0 + B_0r^{-1} + \sum^\infty_{n=1} \bigl [ A^1_{ \ n} r^n \text{ cos } (n \theta) + B^1_{\ n} r^{-n} \text{ cos } (n \theta)\bigr ] + \sum^\infty_{n = 1} \bigl [ A^2_{\ n} r^n \text{ sin } (n \theta) + B^2_{\ n} r^{-n} \text{ sin } (n \theta)\bigr ] !$. Além disso, todos os termos em seno podem ser imediatamente excluídos graças à simetria do problema e o termo B₀=0 porque o cilindro está descarregado.

IV Na solução do problema, todos os termos de potências negativas de !$ r !$, à exceção do termo !$ r^{-1} !$, devem ser excluídos com base na independência linear das funções !$ \text{cos} (n \theta) !$.

V A única solução para este problema é dada,em coordenadas cilíndricas, por !$ \varphi (r, \theta) = - E_0 \sum^\infty_{n = 1} \Biggl [ r + \dfrac {a^2} r \Biggr ]^n \text{cos} (n \theta) !$.

A quantidade de itens certos é

O Eletromagnetismo foi uma das teorias desenvolvidas no século XIX. Faraday, Maxwell, Oersted e muitos outros se encontram entre os pioneiros desta área. A eletrostática e a magnetostática se constituíram em etapas iniciais e foram, posteriormente, unificadas pelas conhecidas Equações de Maxwell.

Considere que três cargas !$ q_1 = -q !$, !$ q_2 = -q !$ e !$ q_3 = +2q !$, estejam posicionadas em !$ z = -a !$, !$ z = +a !$ e !$ z = 0 !$. Em uma expansão multipolar na eletrostática, a contribuição de quadrupolo pode ser escrita pelo tensor !$ Q_d = \int \rho (\vec{r}) (3\vec{r}\vec{r} - r^21) dV !$, em que !$ \rho (\vec{r}) !$ é a densidade de cargas e !$ \vec{r} !$ é o vetor posição. Considerando-se esta expressão e também aquelas para as contribuições dipolares !$ P !$ e monopolares !$ M !$, assinale a opção correta acerca dessas contribuições para a distribuição de cargas apresentada.

O uso da formulação Hamiltoniana possibilita um olhar mais profundo com relação à estrutura formal da mecânica clássica e tem grandes conseqüências para a mecânica quântica. Um dos elementos formais mais importantes do formalismo Hamiltoniano é o parêntese de Poisson. Considere-se que a transformação

!$ Q_1 = q_1; \ Q_2 = p_2; \ P_1 = p_1 - 2p_2; \ P_2 = -2q_1 - q_2 !$

seja canônica e que se tem duas funções dadas por

!$ H (q_1, p_1) = p_1^{\ 2} + p_2^{\ 2} - 2q_2 !$ e !$ G(q_1, p_1) = p_1^{\ 2} !$.

Em relação aos parênteses de Poisson !$ [H,Q]_{p_1, q_1} !$ e !$ [H,Q]_{P_1, Q_1} !$, tomados em relação às variáveis !$ q_1 !$, !$ p_1 !$ e !$ Q_1 !$, !$ P_1 !$, respectivamente, assinale a opção correta.

A mecânica clássica pode ser expressa sob as formas Lagrangiana e Hamiltoniana. Na interação do campo eletromagnético com a matéria, o Hamiltoniano deve ser escrito como !$ H = \dfrac 1 {2m} \biggl ( \vec{p} - \dfrac q c \vec{A} \biggr )^2 + q\phi !$, onde !$ \vec{A}, \phi !$ são os potenciais vetor e !$ \vec{p}, m !$ são o momento linear e a massa. Acerca dessa interação, assinale a opção que contém as equações de movimento corretas.

A figura acima ilustra um disco rígido homogêneo de massa !$ M !$, raio !$ R !$ e espessura !$ H !$ com um furo de raio a em seu centro. Considerando-se que o tensor momento de inércia de um corpo rígido pode ser escrito como !$ I = \int \rho (\vec{r}) (r^2 1 - \vec{r}\vec{r}) dV !$, onde 1 é o tensor identidade, !$ \vec{r} \vec{r} !$ é um produto diádico dos vetores posição e !$ \rho (\vec{r}) !$ é a densidade local de massa, assinale a opção que contém o momento de inércia !$ I_{dis} !$ correto para esse corpo.

Assinale a opção incorreta em relação aos heterosídeos saponínicos, ou saponinas, que pertencem a uma classe de metabólitos secundários com propriedade de formar espuma abundante e persistente após agitação com água.

Os flavonóides são metabólitos secundários de vegetais sólidos e coloridos, com núcleo aromático e com três anéis (A, B e C), apresentando-se sob a forma de polifenóis ou seus éteres (-OCH₃) derivados, conforme esquema acima. Com referência aos flavonóides, assinale a opção incorreta.