Considere as matrizes

!$ A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} !$ e !$ B= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} !$

Sejam !$ λ_0, λ_1 e λ_2 !$ as raízes da equação !$ \det(A-λI_3)=0 !$ com !$ λ_0 \le λ_1 \le λ_2 !$.

Considere as afirmações

(I) !$ B=A-λ_0I_3 !$

(II) !$ B=(A-λ_1I_3)A !$

(III) !$ B=A(A-λ_2I_3) !$

Então

Dado um número real !$ a !$ com !$ a > 1 !$, seja s o conjunto solução da inequação

!$ \log_{1/a} \log_a \left( \large {1 \over a} \right)^{x-7} \le \log_{1/a}(x-1) !$.

Então S é o intervalo

Seja A o ponto de intersecção das retas e e s dadas, respectivamente, pelas equações !$ x+y=3 !$ e !$ x-y=-3 !$. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com !$ B ∈ r !$ e !$ C ∈ S !$. Sabendo que !$ d(A,B) = d(A,C)= \sqrt2 !$, então a reta passando por B e C é dada pela equação

Sejam a, b, c !$ ∈ R^* !$ com !$ A^2=b^2+c^2 !$. Se x, y e z satisfazem o sistema

!$ c \, \cos \, y +b \, \cos \, z = a !$

!$ c \, \cos \, x +x \, \cos \, z = b !$

!$ b \, \cos \, x +a \, \cos \, y = c !$

então !$ \cos \, x + \cos \, y + \cos \, z !$ é igual a

Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação

!$ \sec \left[ \arctan { \large{1 \over 1+e^x}} - \arctan (1-e^x) \right]= \large {\sqrt5 \over 2} !$.

Então

Sejam !$ f, g:R \rightarrow R !$funções tais que

!$ g(x)=1-x !$ e !$ f(x) +2f(2-x)=(x-1)^3 !$, para todo !$ x ∈ R !$. Então !$ f[g(x)] !$ é igual a

Seja S o conjunto de todas as raízes da equação !$ 2x^6-4x^5+4x-2=0 !$. Sobre os elementos de S podemos afirmar que

Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, simultaneamente, às equações:

!$ \left\vert z-3i \right\vert = 3 !$ e !$ \left\vert z+i \right\vert = \left\vert z-2-i \right\vert !$.

O produto de todos os elementos de S é igual a

Sejam !$ m \in \mathbb N !$ e !$ n \in \mathbb R^*_+ !$ com !$ m \ge 10 !$ e !$ x \in \mathbb R^*_+ !$. Seja !$ D !$ o desenvolvimento do binômio !$ (a+b)^m !$, ordenado segundo as potências crescentes de !$ b !$. Quando !$ a=x^n !$ e !$ b=x^{-n^2} !$, o sexto termo de !$ D !$ fica independente de !$ x !$. Quando !$ a=x !$ e !$ b=x^{-1/n} !$, o oitavo termo de !$ D !$ se torna independente de !$ x !$. então !$ m !$ é igual a

Considere os números complexos !$ z= \sqrt2+i\, \sqrt2 !$ e !$ w= 1+ i \, \sqrt3 !$.

Se !$ m = \left | \dfrac {w^6+3z^4+4i}{z^2+w^3+6-2i} \right |^2 !$, então !$ m !$ vale