Seja !$ n \in \mathbb N !$ com !$ n > 1 !$ fixado. Considere o conjunto !$ A = \left\{ { \large {p \over q}}:p,q ∈ Z \, e \, 0 < q < n \right\} !$

Definimos !$ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R !$ por !$ f(x) = [ \cos(n! \times \pi x)]^{2n} !$

Se !$ f(A) !$ denota a imagem do conjunto A pela função f, então

Sejam !$ p_1(x), p_2(x) !$ e !$ p_3(x) !$ polinômios na variável real !$ x !$ de graus !$ n_1, n_2 !$ e !$ n_3 !$, respectivamente , com !$ n_1 > n_2 > n_3 !$. Sabe-se que !$ p_1(x) !$ e !$ p_2(x) !$ são divisíveis por !$ p_3(x) !$. Seja !$ r(x) !$ o resto da divisão de !$ p_1(x) !$ por !$ p_2(x) !$. Considere as afirmações:

( I) !$ r(x) !$ é divisível por !$ p_3(x) !$.

( II) !$ p_1(x) - { \large {1 \over 2}} \, p_2(x) !$ é divisível por !$ p_3(x) !$.

( III) !$ p_1(x) r(x) !$ é divisível por !$ [p_3(x)]^2 !$.

Então,

O domínio D da função

!$ f(x) = \ln \left [ \dfrac {\sqrt {\pi x^2-(1+ \pi^2)x+ \pi}}{-2x^2+3 \pi x}\right ] !$

é o conjunto

A altura e o raio da base de um cone de revolução medem 1 cm e 5 cm respectivamente. Por um ponto do eixo do cone situado a !$ d !$ cm de distância do vértice, traçamos um plano paralelo à base, obtendo um tronco de cone. O volume deste tronco é a média geométrica entre os volumes do cone dado e do cone menor formado. Então !$ d !$ é igual a

Considere os pontos A:(0,0), B:(2,0) e C: (0,3). Seja P:(x,y) o ponto de intersecção das bissetrizes internas do triângulo ABC. então x+y é igual a

Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2 cm. Sejam !$ \alpha !$ e !$ \beta !$, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em !$ cm^2 !$) igual a

Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções !$ f, \, g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R !$ definidas por

!$ f(x) = \begin{cases} 0, \mbox{ se } \, x \in \mathbb Q \\ 1, se \, x \in \mathbb I \end{cases} !$

!$ g(x) = \begin{cases} 1, \mbox{ se } \, x \in \mathbb Q \\ 0, \mbox{ se } \, x \in \mathbb I \end{cases} !$

Seja !$ J !$ a imagem da função composta !$ f \circ g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R !$

Podemos afirmar que

Sejam !$ a_1, a_2, a_3 \,e\, a_4 !$ números reais formando, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com !$ a_1 ≠ 0 !$. Sejam !$ x_1, x_2 \, e \, x_3 !$ as raízes da equação !$ a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 !$. Se !$ x_1=2i !$, então

Sejam !$ m \in \mathbb R_+^* !$ tal que a reta !$ x-3y-m=0 !$ determina, na circunferência !$ (x-1)^2+(y+3)^2=25 !$, uma corda de comprimento 6. O valor de !$ m !$ é

Seja !$ θ !$ um valor fixado no intervalo !$ ]0,\pi/2[ !$. Sabe-se que !$ a_1=\operatorname{cotg} θ !$ é o primeiro termo de uma progressão geométrica infinita de razão !$ q= \sin^2θ !$. A soma de todos os termos dessa progressão é