Considere um cone circular reto cuja geratriz mede !$ \sqrt5 !$ cm e o diâmetro da base mede 2 cm. Traçam-se n planos paralelos à base do cone, que o seccionam determinando n + 1 cones, incluindo o original, de modo que a razão entre os volumes do cone maior e do cone menor é 2. Os volumes destes cones formam uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a !$ 2 \pi !$. Então, o volume, em !$ cm^3 !$ , do tronco de cone determinado por dois planos consecutivos é igual a:

Seja !$ (a_1 , a_2 , a_3 , ...) !$ uma progressão geométrica infinita de razão !$ a_1 !$ , !$ 0 < a_1 < 1 !$, e soma igual a !$ 3a_1 !$ . A soma dos três primeiros termos desta progressão geométrica é:

Seja p(x) um polinômio de grau 4 com coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x – 2 obtém-se um quociente q(x) e resto igual a 26. Na divisão de p(x) por !$ x^2+x-1 !$ obtém-se um quociente h(x) e resto 8x – 5. Sabe-se que q(0) = 13 e q(1) = 26. Então, h(2) + h(3) é igual a:

Sejam !$ a,b ∈ IR !$. Considere os sistemas lineares em x, y e z:

!$ \begin{cases} x+y-z&=0 \\ x-3y+z&=1 \\ -2y+z&=0 \end{cases} !$ e !$ \begin{cases} x-y=0 \\ x+2y-z=0 \\ 2x-by+3z=0 \end{cases} !$

Se ambos admitem infinitas soluções reais, então:

O valor de

!$ \tan^{10}x – 5\tan^8x \sec^2x + 10\tan^6x \sec^4x– 10\tan^4x \sec^6x + + 5\tan^2x \sec^8x – \sec^{10}x !$, para todo !$ × ∈[0, \large {\pi \over 2}[ !$, é:

O valor de !$ y \, ∈ IR !$ que satisfaz a igualdade !$ \log_y49= \log_{y^2}7+\log_{2y}7 !$ é :

Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas equações são, respectivamente, !$ 5(x + 3)^2 – 4(y – 2)^2 = – 20 !$ e !$ (y – 3)^2 = 4(x – 1) !$. Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P ao vértice da parábola T, é:

Considere o paralelogramo ABCD onde A = (0, 0), B = (– 1, 2) e C = (– 3, – 4). Os ângulos internos distintos e o vértice D deste paralelogramo são, respectivamente:

Considere a, b !$ ∈ !$ IR e a equação

!$ 2e^{3x} + ae^{2x} + 7e^x + b = 0 !$

Sabendo que as três raízes reais !$ x_1 !$ , !$ x_2 !$ , !$ x_3 !$ desta equação formam, nesta ordem, uma progressão aritmética cuja soma é igual a zero, então a – b vale:

Sejam !$ x !$ e !$ y !$ números reais tais que:

!$ \begin{cases} x^3 -3xy^2 = 1 \\ 3x^2y-y^3 = 1 \end{cases} !$

Então, o número complexo !$ z = x + iy !$ é tal que !$ z^3 !$ e !$ \left\vert z \right\vert !$ valem, respectivamente: