Dada uma função !$ h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$, dizemos que um número !$ x \in \mathbb{R} !$ é um ponto fixo de h se h(x) = x.

Para cada par !$ (A,B) \in (\mathbb{R} - \{ 0 \}) \times \mathbb{R} !$, seja !$ f_{A,B}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ a função dada por !$ f_{A,B} (x) = Ax^2 + Bx !$. Seja também a função !$ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ dada por !$ g(x) = x + 1 !$. Considere as seguintes afirmações:

I- !$ f_{A,B} \ ^o \ g !$ possui (pelo menos) um ponto fixo se, e somente se, !$ g \ ^o \ f_{A,B} !$ possui (pelo menos) um ponto fixo.

II- Para todo par !$ (A,B) \in (\mathbb{R} - \{0\}) \times \mathbb{R} !$, tal que !$ f_{A,B} \ ^o \ g !$ possui (pelo menos) um ponto fixo, a concavidade do gráfico de !$ f_{A,B} !$ é voltada para cima.

III- Se !$ f_{A,B} \ ^o \ g !$ possui (pelo menos) um ponto fixo, então, !$ B^2 - 2B + 1 - 4A \ge 0 !$.

É CORRETO o que se afirma apenas em:

Após corrigir as provas (que valiam, no máximo, 10 pontos cada) de sua turma de Cálculo (composta de 70 estudantes, os quais todos fizeram prova), o professor Leibnilson informou que a média aritmética das notas foi igual a 6,7.

80% dos estudantes dessa turma tirou nota, no máximo, igual a 6 pontos. Desses 80%, uma parte entregou uma atividade extra (que valia o mesmo para cada estudante que a entregasse, gerando um acréscimo na nota da prova de cada um de !$ \alpha !$ décimos, em que !$ 1 \le a \le 9 !$) os quais foram os únicos estudantes a entregá-la. As notas de todos os outros estudantes permaneceram iguais. O professor Leibnilson, então, atualizou a média aritmética das notas, que passou a ser igual a 7,2.

Quantos estudantes deixaram de entregar a atividade extra?

Um centro de convenções tem 3 portões principais de entrada, identificados com as letras A, B e C, e 5 escadarias, identificadas com os números de 1 a 5, cada uma com um portão de acesso próprio, conectando o térreo e o primeiro andar. As normas de segurança exigem que pelo menos um portão principal e pelo menos um portão de acesso às escadarias estejam sempre abertos. De quantas maneiras isso pode ser feito?

O símbolo !$ \equiv !$ para representar a congruência de números inteiros apareceu pela primeira vez num texto impresso em 1801 na obra Disquisitiones arithmeticae do célebre matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Dados dois números inteiros a e b e um número inteiro não-negativo n, dizemos que a é congruente a b módulo n se a diferença a – b é múltipla inteira de n; neste caso, empregamos a seguinte notação:

a !$ \equiv !$ b (mod n).

A diferença entre o maior e o menor dentre os números inteiros positivos k, tais que

51k² + 30k + 87 !$ \equiv !$ 0 (mod k² + 2k + 1)

é igual a:

Uma reta de equação ax + by + c = 0 corta em dois pontos distintos a circunferência de equação x² + y² + 2x + 4y + 2 = 0. A respeito do número real

!$ \lambda = \dfrac {-a - 2b + c} {\sqrt{a^2 + b^2}} !$

É CORRETO afirmar que:

Jurisvaldo decidiu comprar um pacote turístico que custa R$ 2.300,00. Para essa compra, a agência de viagens oferece as seguintes opções de pagamento:

Opção 1. Pagamento à vista com 8,5% de desconto.

Opção 2. Parcelamento em 10 vezes sem juros (a primeira parcela devendo ser paga no ato da compra).

Após consultar o aplicativo do seu banco, Jurisvaldo descobriu que poderia aplicar, mensalmente, o valor da parcela referente à Opção 2 a juros compostos de 2,5% ao mês, devendo a primeira quantia ser aplicada no ato de contratação do investimento.

(No que segue, se necessário, use 0,78 como aproximação de (1,025)^-10 e 1,21 como aproximação de (1,025)⁸).

Para acumular, no final do 9º mês, após a contratação, o valor a ser pago pelo pacote na Opção 1, o valor que Jurisvaldo deveria aplicar, mensalmente, é

Jurisvaldo decidiu comprar um pacote turístico que custa R$ 2.300,00. Para essa compra, a agência de viagens oferece as seguintes opções de pagamento:

Opção 1. Pagamento à vista com 8,5% de desconto.

Opção 2. Parcelamento em 10 vezes sem juros (a primeira parcela devendo ser paga no ato da compra).

Após consultar o aplicativo do seu banco, Jurisvaldo descobriu que poderia aplicar, mensalmente, o valor da parcela referente à Opção 2 a juros compostos de 2,5% ao mês, devendo a primeira quantia ser aplicada no ato de contratação do investimento.

(No que segue, se necessário, use 0,78 como aproximação de (1,025)^-10 e 1,21 como aproximação de (1,025)⁸).

Levando em conta as opções de pagamento e a possibilidade de investimento disponíveis para Jurisvaldo e sabendo que o valor do pacote e as opções de pagamento apresentadas continuarão, indefinidamente, os mesmos, é CORRETO afirmar que:

A respeito do sistema

!$ \begin{cases} x + y + z = 2021 \\ (\lambda - 1)x + (\lambda - 2)y + (\lambda - 3)z = 2022 \\ x + 2y + 3z = 2023 \end{cases} !$,

com !$ \lambda \in \mathbb{R} !$, são feitas as seguintes afirmações:

I- A matriz dos coeficientes desse sistema nunca é invertível, qualquer que seja !$ \lambda \in \mathbb{R} !$.

II- Escrevendo o sistema na forma matricial

!$ A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2021 \\ 2022 \\ 2023 \end{pmatrix} !$

em que A é a matriz dos coeficientes, existe um único valor de !$ \lambda \in \mathbb{R} !$ ,para o qual é possível escrever o vetor

!$ \begin{pmatrix} 2021 \\ 2022 \\ 2023 \end{pmatrix} !$

como combinação linear das colunas de A.

III- Os planos correspondentes às linhas do sistema nunca se intersectam, qualquer que seja !$ \lambda \in \mathbb{R} !$.

É CORRETO o que se afirma apenas em:

Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais e de grau 2023, do qual 0 é uma raiz de multiplicidade exatamente igual a 3.

É necessariamente VERDADE que:

No plano euclidiano, introduz-se um sistema ortogonal de coordenadas Oxy. Rotacionando-se !$ \theta \ rad !$ em torno da origem O no
sentido anti-horário ou positivo um ponto P desse plano que tem coordenadas

!$ P = \dbinom{x}{y} !$

nesse sistema, obtém-se um ponto !$ \tilde{P} !$ cujas coordenadas

Sabendo-se que, para todo número real !$ a !$, a rotação de !$ \theta \ rad !$ em torno da origem O no sentido anti-horário transforma o ponto !$ \dbinom{a}{a} !$ no ponto !$ \begin{pmatrix} - \dfrac {a \sqrt{2}} 2 \\ \dfrac {a\sqrt{6}} 2 \end{pmatrix} !$, o valor de !$ \theta !$ é: