Num triângulo ABC, no qual tem-se A!$ \hat{\text{B}} !$C = 15º, toma-se um ponto P sobre o lado AB, de tal forma que !$ \dfrac {\overline{PC}} {\overline{AP}} = \sqrt{3} !$ e que o ponto médio do segmento PC coincide com o pé da perpendicular que vai do ponto A até esse segmento. A área do triângulo ABC, em função de !$ x = \overline{AP} !$, é:

Seja !$ \mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,...\} !$. Dado !$ n \in \mathbb{N} !$, sabe-se que a soma

!$ S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + (n - 1)^2 + n^2 !$

dos quadrados de todos os números naturais de 1 até !$ n !$ é dada pela fórmula

!$ S_n = \dfrac {n(n+1)(2n + 1)} 6 !$

Seja !$ I_{2023} \in \mathbb{N} !$ a soma !$ 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + 2021^2 + 2023^2 !$ dos quadrados de todos os números ímpares entre 1 e 2023. A soma dos algarismos de !$ I_{2023} !$ é:

Dado um número real positivo !$ \lambda !$, seja !$ \mathcal{C} !$* o lugar geométrico dos pontos !$ z \in \mathbb{C} - \{0\} !$ tais que !$ lm \Bigl ( \dfrac 1 z \Bigr ) = \lambda !$ e seja !$ \mathcal{C} = \mathcal{C}^* \cup \{0\} !$. A área da região limitada por !$ \mathcal{C} !$ e pelo eixo das ordenadas, contida no terceiro quadrante é igual a:

A hipotenusa BC de um triângulo retângulo ABC é dividida por 2022 pontos D₁, D₂, ..., D₂₀₂₂ em 2023 segmentos, todos de igual medida. A razão é um número:

!$ \dfrac {\overline{AD_1}^2 + \overline{AD_2}^2 + \cdots + \overline{AD_{2022}}^2} {\overline{BC}^2} !$

A cada número inteiro !$ n !$ da forma !$ n = 3p . q !$ ou !$ n = - 3p . q !$, em ambos os casos com !$ p !$ e !$ q !$ inteiros maiores do que ou iguais a 1 e com MDC !$ \{ 3,q \} = 1 !$, associamos a fração !$ \dfrac p q !$. Assim, por exemplo, aos números inteiros !$ 3 = 3^1 \cdot 1 !$, !$ -18 = -3^2 \cdot 2 !$ e !$ 6 = 3^1 \cdot 2 !$, associamos, nesta ordem, as frações !$ \dfrac 1 1 !$, !$ \dfrac 2 2 !$ e !$ \dfrac 1 2 !$.

Denotando por 3!$ \mathbb{Z} !$ o conjunto de todos os múltiplos inteiros do número 3 e por !$ \mathbb{Q} !$ o conjunto de todos os números racionais, é CORRETO afirmar que a regra de associação descrita acima: