A operação “divisão” não é associativa. Isso significa que, ao dividirmos três ou mais números, devemos usar parênteses para que o resultado não seja ambíguo. Por exemplo,

!$ 60 \div (10 \div 2) = 60 \div 5 = 12 \ e \ (60 \div 10) \div 2 = 6 \div 2 = 3 !$

são resultados diferentes. Dependendo da forma como são colocados os parênteses, mas mantendo a ordem em que os elementos aparecem, quantos resultados diferentes pode ter a expressão !$ 24 \div 12 \div 6 \div 3 !$ ?

Maria percebeu que !$ 4 + 2 \sqrt 3 = (1 + \sqrt 3)^2 !$ e que !$ 4 - 2 \sqrt 3 = (1 - \sqrt 3)^2 !$. A partir dessas observações, ela pode concluir que o número !$ x = \sqrt {4 + 2 \sqrt 3} + \sqrt {4 - 2 \sqrt 3} !$ é:

Se n é um número natural que não é múltiplo de 7, então, ao dividirmos n³ por 7, poderemos encontrar como restos os números:

Miguel tem uma quantidade muito grande de pequenos cubos. Esses cubos são de dois tipos: cubos do tipo C₁, que têm aresta igual a !$ \dfrac 23 !$ cm , e cubos do tipo C₂, que têm aresta igual a !$ \dfrac 45 !$ cm. Empilhando cubos do tipo C₁, Miguel fez um cubo maior C. Empilhando cubos do tipo C₂, ele fez um cubo com o mesmo volume de C. Sabendo que Miguel utilizou a menor quantidade possível de cubos, determine a quantidade de pequenos cubos que ele utilizou para fazer os dois cubos maiores.

Na expressão

!$ { \large a^3 - a^2b + ab^2 - b^3 \over a^2 + b^2} !$

as letras a e b representam dois números reais que não são ambos iguais a zero. Simplificando essa expressão, obtemos:

Dois triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes, com razão de semelhança 2, sendo A'B'C' o triângulo maior. Sabemos que !$ \overline {A'B'} = \overline {AC} !$ e !$ \overline {A'B'} = \overline {BC} + 1 !$. Se o perímetro de A'B'C' é 28cm, então a medida do menor lado de ABC, em centímetros, é:

O número real !$ x = { \large 1 + \sqrt 5 \over 2} !$ tem várias propriedades interessantes, dentre elas, o fato de seu quadrado ser igual ao seu sucessor. Baseado nesse fato, podemos concluir que:

Suponha que a e b sejam números inteiros positivos. Se x e y satisfazem o sistema !$ \begin{cases} 2x + 7y = a \\ 3x + 11y =b \end{cases} !$ podemos afirmar que os menores valores possíveis de x e de y são, respectivamente,

Considere a função real de variável real dada por !$ f(x) = x^2 + c !$, em que c é um número real diferente de zero. Sabendo que !$ f(f(1)) = 1 !$, podemos afirmar que !$ f(2) !$ é igual a:

Sabemos que um litro (1L) equivale ao volume de um cubo cuja aresta mede 10 centímetros. Um cilindro circular reto tem raio da base igual a 20 cm e altura igual a 56 cm. Admitindo que !$ \pi !$ é aproximadamente !$ { \large 22 \over 7} !$, podemos afirmar que o valor que melhor aproxima o volume desse cilindro é: