Avalie se as seguintes afirmativas acerca de suficiência estão corretas.

I. Se X₁, X₂, ... X_n é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro \( θ \), então uma estatística S é suficiente se e somente se a distribuição condicional de X₁, X₂, ... X_n dado S = s é independente de \( θ \) para todo valor s de S.

II. Se X₁, X₂, ... X_n é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro \( θ \), uma estatística S = s(X₁, X₂, ... X_n) é suficiente se e somente se a densidade conjunta de X₁, X₂, ... X_n fatora como uma função g(s; \( θ \)) não negativa que depende de x₁, x_2, ... x_n apenas por meio de s multiplicada por uma função h(x₁, x₂, ... x_n) não negativa e independente de \( θ \).

III. Um estimador de máxima verossimilhança de um parâmetro \( θ \) só depende da amostra por meio de uma estatística suficiente.

Está correto o que se afirma em

A seguinte amostra aleatória simples foi observada de uma distribuição Bernoulli(p):

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Nesse caso, a estimativa de máxima verossimilhança de p é igual a

Uma amostra aleatória simples X₁, X₂,..., X₄₀₀, de tamanho 400, foi obtida de uma distribuição normal com média desconhecida \( μ \) . Os seguintes dados foram observados:

\( \overline{x} \)= 6 e \( \sum_{i=1}^{400}X_i^2=17.991 \)

Um intervalo aproximado de 95% de confiança para \( μ \) será então dado por

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂,..., X_n de uma variável aleatória populacional X com média \( μ \) e variância \( \sigma \)2 .

Sejam: \( \overline{X} \) = \( \dfrac{\sum_{i=1}^nX_i}{n} \) e S² = \( \dfrac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2}{n} \)

Em relação à estimação de \( μ \) e de \( \sigma \)², avalie se as seguintes afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) \( \overline{X} \) é estimador não tendencioso de variância uniformemente mínima de \( μ \).

( ) \( S \)² é estimador não tendencioso de \( \sigma \)² .

( ) \( \overline{X} \) é estimador de máxima verossimilhança de \( μ \) .

( ) \( S \)² é estimador de máxima verossimilhança de \( \sigma \)² .

As afirmativas são, respectivamente,

Se U e V são variáveis aleatórias independentes com distribuições respectivas qui-quadrado com m e n graus de liberdade, então a variável X = nU/mV tem distribuição

O Art. 3º da Resolução no 76, de 12 de maio de 2009, estabelece que os dados estatísticos dos Tribunais serão informados ao Conselho Nacional de Justiça, por meio de ____, observado o seguinte calendário:

I. os dados estatísticos anuais serão transmitidos no período de _____ ...

As lacunas ficam corretamente preenchidas por

Considere que uma amostra aleatória simples de tamanho 100 de uma densidade N(\( μ \), 25) será obtida para testar H₀: \( μ \) ≤ 10 versus H₁: \( μ \) ≤ 10. Será usado como critério de decisão rejeitar H₀ se \( \overline{x} \) > 10,82.

A função de potência desse teste quando \( μ \) = 11 é aproximadamente igual a

Uma amostra de tamanho 25 de uma densidade normal com média \( μ \) e variância \( \sigma \)² desconhecidas resultou nos seguintes dados:

\( \overline{x} \)= 31,2 e \( \sum_{i=1}^{25}\left(X_i-\overline{X}\right)^2=96 \)

Deseja-se testar H0: \( μ \) ≤ 30 versus H₁: \( μ \) > 30 usando a estatística t usual.

Assinale a opção que indica o valor da estatística t, o critério de decisão e a correspondente decisão ao nível de significância de 5%.