Verifica-se que uma variável aleatória X tem uma função densidade de probabilidade dada por !$ f(x)=\begin{cases}{\large{x+1 \over K}}, se \, 0 \le x < 2 \\0, \text{caso contrário} \end{cases} !$, sendo K um parâmetro real diferente de 0. O valor da variância de X é igual a

Sabe-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. A esperança de !$ X^2 !$, denotada por !$ E(X^2) !$, apresenta valor igual a

Seja X uma variável aleatória apresentando uma distribuição desconhecida. Utilizando o Teorema de Tchebichev encontrou-se que a probabilidade mínima de a variável pertencer ao intervalo (20,30) é igual a 75%. Se a média de X apresenta valor igual a 25, verifica-se que a variância de X é igual a

Para responder a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z !$ \le !$ z) para a distribuição normal padrão (Z).

De uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito extraiu-se uma amostra aleatória de tamanho 36, obtendo-se uma média amostral igual a 80. Com base nesta amostra, um intervalo de confiança de 90% foi construído para a média !$ \mu !$ da população apresentando como resultado o intervalo [75,08; 84,92]. Uma outra amostra aleatória de tamanho 144, independente da primeira, foi extraída da população obtendo-se um novo intervalo de confiança de 96% para !$ \mu !$ com uma amplitude igual a

Para responder a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z !$ \le !$ z) para a distribuição normal padrão (Z).

Considera-se que o tempo total, em dias, para a conclusão de um projeto é uma variável aleatória que apresenta uma distribuição normal de tamanho infinito e é constituída pela soma dos tempos, em dias, de 3 etapas independentes realizadas uma após a outra sem qualquer interrupção. Sejam X, Y e Z as variáveis aleatórias e normalmente distribuídas de tamanho infinito representando os tempos da primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente. A tabela abaixo fornece os parâmetros de X, Y e Z.

A probabilidade de o projeto levar, no mínimo, 66 dias e, no máximo, 93 dias para ser concluído é igual a

Para responder a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z !$ \le !$ z) para a distribuição normal padrão (Z).

Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e variância 100. Uma amostra aleatória de tamanho n é extraída da respectiva população, com reposição, obtendo-se uma média amostral !$ \bar{x} !$ . O valor de n tal que a probabilidade !$ P( \left\vert \bar{x}-\mu \right\vert \le 0,656)=90 \% !$ é

Para responder a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z !$ \le !$ z) para a distribuição normal padrão (Z).

Em uma grande empresa, a população formada pelos salários de seus empregados é normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Sabe-se que 16% dos empregados ganham pelo menos 5 salários mínimos e no máximo o valor médio de todos os salários da empresa. Se 30% dos empregados ganham mais que 6,86 salários mínimos, então 14% dos empregados ganham, em salários mínimos, menos que

Se uma variável aleatória X possui uma distribuição gama com parâmetros !$ \alpha \ge 1 !$ e !$ \beta > 0 !$ apresentando uma função geradora de momentos igual a !$ M(t)=(1- \beta t)^{- \alpha} !$, sendo !$ 0 < t < 1/\beta !$, então o módulo da diferença entre o quadrado da esperança de X e a variância de X é

Uma indústria vende um equipamento eletrônico que ela produz ao preço unitário de venda de R$ 1.000,00. O custo para a fabricação de cada equipamento é de R$ 400,00 e o tempo (T), em anos, de duração da vida do equipamento é considerado como uma variável aleatória com uma função densidade de probabilidade igual a !$ f(t)= \begin{cases}{\large{1 \over 2}}e^{-t/2}, se \, t \ge 0 \\ \qquad 0, se \, t < 0 \end{cases} !$. A indústria garante a devolução do aparelho caso ele apresente um defeito se t < m/2. O parâmetro real m corresponde à média da duração de vida do equipamento. O lucro esperado por equipamento, considerando e^−0,5 = 0,61, e⁻¹ = 0,37 e e⁻² = 0,14, é de

Em uma empresa, verifica-se que o tempo (T), em dias, que cada funcionário demora para realizar uma tarefa tem uma função de densidade de probabilidade dada por f(t) = (b − a)⁻¹, se a ≤ t < b e f(t) = 0, caso contrário. Sabe-se que a e b são parâmetros reais estritamente positivos com a < b e que o tempo médio para conclusão da tarefa é igual a 4,5 dias com uma variância de 0,75 (dias)². Nessas condições, a probabilidade de o tempo para a conclusão da tarefa por um funcionário ser inferior a 5 dias é de