Em assimilação variacional, frequentemente são encontrados problemas inversos mal-postos, (ill-posed problems). Esses problemas podem ser convertidos em bem-postos (well-posed) pelo uso de técnicas de regularização. Um exemplo é o uso da regularização de Tikhonov, em que se adiciona um termo de regularização a um funcional a ser minimizado, evitando-se assim instabilidades numéricas durante o cálculo da solução.

Por exemplo: suponha que se busque um vetor x que resolva o sistema \( Hx = y \), minimizando-se o funcional

\( J=||H_x - y||\dfrac{2}{2} \),

em que \( ||\cdot||_2 \) é a norma \( L^2 \) (isto é, um problema de mínimos quadrados mal-posto). Pode-se adicionar o termo de regularização de Tikhonov ao funcional, substituindo-o por

\( J_\alpha ||H_x - y||\dfrac{2}{2}+||\Gamma x ||\dfrac{2}{2} \),

em que \( \Gamma = \alpha I \), e \( I \) é a matriz identidade.

Considere um caso hipotético onde as variáveis \( H \), \( y \) e \( \alpha \) possuem os seguintes valores:

\( H=\begin{bmatrix} 1&2\\2&2\\1&2\\1&2 \end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\2 \end{bmatrix},\alpha = 1 \).

Neste caso, o vetor \( x \) que minimiza \( J_\alpha \) é:

Filtros de partículas são, em geral, implementados com o uso de reamostragem sequencial por importância. Essa reamostragem pode ser adaptativa, ocorrendo apenas quando a métrica denominada número efetivo de partículas é considerada muito baixa.

Considerando um filtro de partículas com \( N \) partículas cujos pesos são dados por \( w(i),i=1,...,N \), a estimativa do número efetivo de partículas é dada por

Considere o modelo não linear e o Filtro de Kalman por Conjunto (EnKF) detalhados na questão 04. Para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz B pode ser calculada pela expressão:

Seja um modelo não linear dado por:

\( x_k = M(x_{k-1}) + q_{k-1},\,\,\,\,\,\,\, q_{k-1}\sim N(0,Q);\\y_k = H(x_k) + r_k, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, r_k \sim N(0,R), \)

em que: \( x_k \) é um vetor de estados de n dimensões em um dado instante de tempo \( k \); \( M \) e \( H \) são mapeamentos não-lineares de \( R^n \) para \( R^n \) e de \( R^m \) para \( R^m \), respectivamente; \( q \) e \( r \) são vetores aleatórios gaussianos de média nula e covariância \( Q \) e \( R \), respectivamente.

Considere a implementação de um Filtro de Kalman por Conjunto (Ensemble Kalman Filter - EnKF) com 1000 pontos representando possíveis estados. Cada um dos 1000 pontos é denotado \( x^{(i)}_t \), onde \( i \) é inteiro e varia de 1 a 1000.

Considere, ainda, que a média dos pontos do conjunto no instante \( k \) pode ser representada por \( \overline{x_k}=\Sigma^{1000}_{i=1}\dfrac{x^{(i)}_k}{1000} \), e que o ganho de Kalman no instante \( k \) é geralmente representado pelo produto de uma matriz \( A \) pela inversa de uma matriz \( B(K_k = AB^{-1}) \).

Considerando as condições enunciadas acima, para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz \( A \) pode ser calculada pela expressão:

Um pesquisador usou em seu trabalho para estimar a tendência central de certo fenômeno meteorológico o seguinte estimador:

\( \hat{\theta}=\dfrac{\Sigma^{\eta /2}_{i=1}X_i}{\eta} \)

Sabe-se que o fenômeno em questão segue uma distribuição Normal com média \( \theta \) e desvio-padrão \( \sigma \). O viés do estimador é