Considerando que o passeio aleatório simples seja dado por {S_n} _n≥1em que \( S_n = \) \( X_i \) \( , \) \( P ( X_i =1) \)\( =p \) \( , \) \( P ( X_i = -1) = 1 - p \) \( , \) e \( 0 < p < 1 \) \( , \) julgue o seguinte item acerca desse processo estocástico.

No passo 1 (n =1), o passeio aleatório pode assumir valor -1 ou 1. Logo, nos passos pares 2n, esse processo assume valor par (inclusive o valor zero) com probabilidade 1; nos passos ímpares 2n + 1, esse mesmo processo assume valor ímpar com probabilidade 1.

Considerando que o passeio aleatório simples seja dado por {S_n} _n≥1em que \( S_n = \) \( X_i \) \( , \) \( P ( X_i =1) \)\( =p \) \( , \) \( P ( X_i = -1) = 1 - p \) \( , \) e \( 0 < p < 1 \) \( , \) julgue o seguinte item acerca desse processo estocástico.

O passeio aleatório simples não é uma cadeia de Markov.

Considerando uma cadeia de Markov, com matriz de transição em que 0 ≤p,q ≤ 1, julgue o seguinte item.

O processo não possui limite estacionário se p =1 e q =1.

Considerando uma cadeia de Markov, com matriz de transição em que 0 ≤p,q ≤ 1, julgue o seguinte item.

Todo processo de Markov com dois estados é duplamente estocástico.

Considerando a matriz de transição

julgue o próximo item acerca de cadeias de Markov.

A matriz de probabilidades de transição no segundo passo é

\( M^{(2)} = \begin{bmatrix} {11 \over 18} & {7 \over 18} \\ {7 \over 16} & {9 \over 16} \end{bmatrix} \)

Considerando a matriz de transição

\( M = \begin{bmatrix} {1 \over 3} & {2 \over 3} \\ {3 \over 4} & {1 \over 4} \end{bmatrix} \)

, julgue o próximo item acerca de cadeias de Markov.

O vetor de distribuição do processo no limite estacionário é

\( \pi = \begin{bmatrix} {9 \over 17} \\ {8 \over 17} \end{bmatrix} \)

Considerando que os conceitos de inferência estatística são fundamentais para a análise estatística, julgue o item a seguir.

Suponha que \( T(X) \) seja uma estatística suficiente para o parâmetro \( \theta \) de uma distribuição \( X \). Nessa situação, para estimar o parâmetro \( \theta \), basta obter uma realização da estatística \( T(X) \).

Considerando que os conceitos de inferência estatística são fundamentais para a análise estatística, julgue o item a seguir.

Considere uma distribuição cuja função de densidade tenha a forma

\( f(x)=\,\mathrm{exp}\,\{S\,(\theta)\,T(x)\,+\,h(x)\,+\,c(\theta)\,\} \)

em que \( \theta \) é o parâmetro desconhecido da distribuição, \( S \) e \( c \) são funções que dependem somente de \( \theta \), e \( T \) e \( h \) são funções que dependem

somente de \( x \). Nessa situação, pela regra da fatoração, \( S \) \( ( \)\( \theta \)\( ) \) é estatística suficiente para o parâmetro \( \theta \)

A função de densidade da distribuição normal padrão \( Z \) é dada pela função

\( f(z)={1 \over \sqrt {2 \pi}} \mathrm{exp} \left ( -{z^2 \over 2}\right ) \)

em que \( z \) é um número real.

Considerando a transformação \( Y = \mathrm{exp} (Z) \), julgue o item a seguir.

A função de densidade da variável aleatória \( Y \) é

\( f(y)={1 \over \sqrt {2 \pi}} \exp \left \{ - { [ \exp(y)]^2 \over 2} \right \} \)

em que \( y \ge 0 \).

A respeito da distribuição binomial \( X \)com parâmetros n e p, em que n ≥ 1 e 0 < p < 1, julgue o item subsequente.

No caso assintótico em que

\( \lim \limits _{p \rightarrow 0, \, \, n \rightarrow \infty} np = \lambda > 0 \)

então \( P(X>0) \approx 1 - e^{- \lambda} \)