A respeito da distribuição binomial \( X \)com parâmetros n e p, em que n ≥ 1 e 0 < p < 1, julgue o item subsequente.

Se n for suficientemente grande, então é correto afirmar que

\( P(X=k) \approx \Phi \left ( {k+0,5-np \over \sqrt {np (1-p)}}\right ) - \Phi \left ( {k-0,5-np \over \sqrt {np (1-p)}} \right ) \)

em que \( \phi \) é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Sabendo que \( X \) é uma variável aleatória discreta, 0 < p < 1 e k, número natural, julgue o item abaixo.

P(X ≤ k) = (1 - p) ^k é uma função de probabilidade acumulada.

Sabendo que \( X \) é variável aleatória discreta que pode assumir valores inteiros não negativos, julgue o próximo item.

A esperança de \( X \) é igual a

\( \sum \limits _{k=1}^{+ \infty}P(X \ge k) \)

Sabendo que \( X \) é variável aleatória discreta que pode assumir valores inteiros não negativos, julgue o próximo item.

Considere \( P(X=0)=1- \phi( \tau) \) e \( P(X=k)= \phi (\tau) P(X=k-1) \), em que \( \tau \) é um parâmetro, \( 0 \le \phi (\tau) \le 1 \) e \( k \ge 1 \).

Nessa situação, é correto afirmar que a média de \( X \)é maior que 1/2 se \( \phi (\tau) < 2/3 \).

Considerando a função

\( f(x)={1 \over c} \times \left ( x+ {1 \over 2}\right )^2 \)

em que 0 ≤ x ≤ 1 e c, uma constante de normalização, julgue o item que se segue.

A função \( f (x) \) é uma função de densidade de uma variável aleatória se \( c = {13\over 12} . \)

Considerando a função

\( f(x)={1 \over c} \left ( x+ {1 \over 2}\right )^2 \)

em que 0 ≤ x ≤ 1 e c, uma constante de normalização, julgue o item que se segue.

Se \( f (x) > 1 \) para algum \( x \) \( \epsilon \) \( [0,1] \), então a função \( f (x) \) não é uma função de densidade.

Considerando que a distribuição gama, definida pelos parâmetros n e \( \lambda \), em que n é um número inteiro e \( \lambda \), um número real maior que zero, é caracterizada como a soma de n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com média \( 1 \over {\lambda} \) , julgue o item que se segue.

Considere que uma amostra aleatória simples retirada dessa distribuição gama tenha produzido uma média aritmética igual a 20 e uma variância amostral igual a 50. Nessa situação, as estimativas dos parâmetros n e \( \lambda \), pelo método de momentos, são respectivamente iguais a 8 e 0,4.

Considerando que a distribuição gama, definida pelos parâmetros n e \( \lambda \), em que n é um número inteiro e \( \lambda \), um número real maior que zero, é caracterizada como a soma de n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com média \( 1 \over {\lambda} \) , julgue o item que se segue.

Considere que seja uma amostra aleatória simples Y₁,..., Y_n retirada de uma distribuição exponencial com média \( 1 \over {\lambda} \) e que
Nessa situação, é correto afirmar que \( Y_1 \over Y \),...,\( Y_n \over Y \)são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e que o espaço amostral de \( {Y_i \over Y} \) (i = 1, ..., n) é o intervalo \( [ 0, \infty [ . \)