Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade:

!$ f(x)=\,\begin{cases}\,0,\,&\,\mathrm{se\,x<0}\,\\\,ax+{1\,\over\,3},\,&\,\mathrm\,{se\,0\,\le\,x\,\le\,2}\,\\\,0,\,&\,\mathrm\,{se\,x>2}\,\end{cases} !$

Sendo a uma constante, seu valor é igual a

Em um mesmo período considerado, o índice de preços de Fisher (FP) é obtido calculando-se a média geométrica entre o índice de preços de Laspeyres (LP) e o índice de preços de Paasche (PP). Também, o índice de quantidade de Fisher (FQ) é obtido calculando-se a média geométrica entre o índice de quantidade de Laspeyres (LQ) e o índice de quantidade de Paasche (PQ).

Seja uma cesta de 8 produtos com seus respectivos preços e quantidades nas épocas 1 e 2 e as seguintes informações:

!$ \sum \limits _{i=1}^8 P_1^i Q_1^i=800 !$ !$ \sum \limits _{i=1}^8P_2^iQ_1^i = 1.600 !$ !$ \sum \limits _{i=1}^8P_1^iQ_2^i = 640 !$ !$ \sum \limits _{i=1}^8P_2^iQ_2^i = 1.400 !$

em que,

!$ P_j^i !$: preço do produto i na época j

!$ Q_j^i !$: quantidade consumida do produto i na época j

Tomando como base a época 1 e calculando os índices no período de 1 a 2, tem-se que (FP)² e (FQ)² são, respectivamente,

Seja um modelo auto-regressivo de ordem 1, ou AR(1), em que !$ \epsilon _t !$ caracteriza o processo conhecido como ruído branco:

!$ y_t= \theta y_{t-1} + \varepsilon _t !$, com !$ \theta > 0 !$

Sabendo-se que

!$ \theta = {1-2k \over k-1} !$

sendo k um número real, e também que a série y_t é estacionária, tem-se que:

A análise do comportamento das vendas de uma empresa durante os últimos anos permitiu apurar uma tendência linear de crescimento ao longo do tempo com sazonalidade.

Por meio do método dos mínimos quadrados, a empresa deduziu a reta de tendência como sendo Y_t = 5 + 25 t, em que Y_t são as vendas, em milhares de reais, em t, que representa o trimestre correspondente das vendas (t = 1 é o primeiro trimestre de 2001; t = 2 é o segundo trimestre de 2001, e assim por diante).

Esta empresa poderá adotar o modelo multiplicativo, caso se verifique que os movimentos estejam associados ao nível de tendência, ou adotar o modelo aditivo, caso se verifique movimentos em torno da tendência que não dependam de seu nível.

O quadro a seguir fornece os fatores sazonais, caso seja adotado o modelo multiplicativo, e as médias das diferenças (vendas observadas menos vendas obtidas pela tendência) por trimestre, caso seja adotado o modelo aditivo.

A previsão de vendas, em milhares de reais, para o primeiro trimestre de 2006 é

Considere as seguintes informações para resolver as questão.

Uma das principais aplicações da Econometria tem sido sua utilização na obtenção de modelos que explicam a procura de produtos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em um determinado país, adotou-se o modelo !$ Z_i = \alpha +\beta X_i +\gamma Y_i + \epsilon_i !$ para avaliar a demanda per capita de um determinado produto, com base em observações nos últimos dez anos. Dados:

• z_i = ln(Q_i), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) 1) e Q_i um índice representando a demanda per capita do produto no ano i;
• x_i = ln(P_i), em que P_i é o índice de preço do produto no ano i;
• y_i ln(R_i), em que R_i é a renda per capita do país no ano i;
• !$ \alpha !$, !$ \beta !$ e !$ \gamma !$ são parâmetros desconhecidos;
• !$ \epsilon _i !$ é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear múltipla.

Utilizando o método dos mínimos quadrados, obteve-se a equação do plano:

!$ \hat {z_i}=4-0,12x_i+0,76y_i !$

Dados obtidos do quadro de análise de variância:

• Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160
• Variação residual: 0,0140

Com relação à equação do plano ajustado pelo método dos mínimos quadrados e considerando o quadro de análise de variância correspondente, é correto afirmar que:

Considere as seguintes informações para resolver a questão.

Uma das principais aplicações da Econometria tem sido sua utilização na obtenção de modelos que explicam a procura de produtos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em um determinado país, adotou-se o modelo !$ Z_i = \alpha +\beta X_i +\gamma Y_i + \epsilon_i !$ para avaliar a demanda per capita de um determinado produto, com base em observações nos últimos dez anos. Dados:

• z_i = ln(Q_i), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) =1) e Q_i um índice representando a demanda per capita do produto no ano i;

• x_i = ln(P_i), em que P_i é o índice de preço do produto no ano i;
• y_i = ln(R_i), em que R_i é a renda per capita do país no ano i;
• !$ \alpha !$, !$ \beta !$ e !$ \gamma !$ são parâmetros desconhecidos;
• !$ \epsilon _i !$ é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear múltipla.

Utilizando o método dos mínimos quadrados, obteve-se a equação do plano:

!$ \hat{z_i}=4-0,12x_i+0,76y_i !$

Dados obtidos do quadro de análise de variância:

• Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160
• Variação residual: 0,0140

Considerando a equação do plano obtida pelo método dos mínimos quadrados para esse país, o valor da previsão em um determinado ano do índice de demanda per capita Q do produto analisado em função do índice de preço P e uma renda per capita R (P.Q ≠ 0) pode ser obtido pela fórmula:

Considere as informações a seguir para resolver a questão.

Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os gastos anuais com propaganda (X), em R$ 1 000,00, e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1 000,00, optou por utilizar o modelo linear simples !$ Y_i=\alpha + \beta X_i + \epsilon_i !$, em que Y_i é o valor do lucro bruto auferido no ano i, X_i é o valor gasto com propaganda no ano i e !$ \epsilon_i !$ o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples (!$ \alpha !$ e !$ \beta !$ são parâmetros desconhecidos).

Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa:

!$ \sum \limits _{i=1}^{10} Y_i=100 !$ !$ \sum \limits _{i=1}^{10} X_i=60 !$ !$ \sum \limits _{i=1}^{10} X_iY_i=650 !$

!$ \sum \limits _{i=1} ^{10 } X_i ^2 = 400 !$ !$ \sum \limits _{i=1} ^{10 } Y_i ^2 = 1.080 !$

Montando o quadro de análise de variância, tem-se que

Considere as informações a seguir para resolver a questão.

Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os gastos anuais com propaganda (X), em R$ 1 000,00, e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1 000,00, optou por utilizar o modelo linear simples !$ Y_i=\alpha + \beta X_i + \epsilon_i !$, em que Y_i é o valor do lucro bruto auferido no ano i, X_i é o valor gasto com propaganda no ano i e !$ \epsilon_i !$ o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples (!$ \alpha e \beta !$ são parâmetros desconhecidos).

Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa:

!$ \sum \limits _{i=1}^{10} Y_i=100 !$

!$ \sum \limits _{i=1}^{10} X_i=60 !$

!$ \sum \limits _{i=1}^{10} X_iY_i=650 !$

!$ \sum \limits _{i=1} ^{10 } X_i ^2 = 400 !$

!$ \sum \limits _{i=1} ^{10 } Y_i ^2 = 1.080 !$

Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, tem-se que, caso haja um gasto anual com propaganda de 80 mil reais, a previsão do lucro bruto anual, em mil reais, será de

Uma amostra aleatória de 100 valores de aluguéis em uma cidade forneceu um valor médio de R$ 600,00. O desvio padrão da população, considerada normal e de tamanho infinito, é de R$ 250,00. Deseja-se saber se o valor médio encontrado na amostra é superior ao valor de R$ 550,00, que se supõe ser a média verdadeira, ao nível de significância !$ \alpha !$. Seja !$ Z_\alpha !$ o escore da curva normal padrão tal que !$ P(Z > Z_\alpha) = \alpha !$, H₀ a hipótese nula do teste !$ (\mu = 550) !$ e H₁ a hipótese alternativa !$ (\mu> 550) !$. Sabendo-se que H₀ foi rejeitada, tem-se que