Observe a figura a seguir.

Ela representa o Estado do Ceará dividido por suas regiões. Considere a tarefa de colorir esse mapa de modo que cada região seja colorida por uma única cor e, além disso, que regiões com a mesma fronteira tenham que ter cores diferentes. Qual é a menor quantidade de cores distintas necessárias para a realização dessa tarefa?

A sequência de números naturais que se vê a seguir foi construída de forma que cada número natural \( n \) foi escrito \( n \) vezes

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6...

Para esta sequência, a soma \( S \) dos primeiros 1000 termos é tal que:

Em um sistema cartesiano ortogonal \( Oxy \), constrói-se a curva \( \lambda : 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 40x - 30y = 0 \). Um novo sistema de coordenadas ortogonais planas \( X'OY' \) é obtido do primeiro, por uma rotação de ângulo \( 0 < \theta < 90º \), em torno da origem e no sentido anti-horário. Nesse novo sistema, a equação de \( \lambda \) é tal que o coeficiente de \( x'y' \) é zero. Nessas condições, pode-se afirmar, corretamente, que:

Num sistema cartesiano ortogonal \( Oxyz \), a secção que \( x - 2z = 5 \) determina na quádrica \( (x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 - 4z^2 = 0 \) é:

Num círculo de centro \( C \), o diâmetro \( AB \) mede 12 dm. Um setor \( PCQ \) é tal que o raio \( CP \) forma ângulo de 30° com \( AB \), e o raio \( CQ \) forma ângulo de 60° com \( AB \); além disso, o único ponto de interseção de \( AB \) com setor é \( C \). Para a produção de uma peça, gira-se o setor \( PCQ \) de 360°, em torno do diâmetro \( AB \), gerando um sólido. Dentre os intervalos exibidos, marque o único que contém todos os possíveis resultados para o volume de uma peça assim construída, em decímetros cúbicos.

Qual é a quantidade de raízes reais distintas da equação \( x^4 - 4x^2 + y^2 + { \large 4 \over y^2} = 0 \)?

A soma dos coeficientes do polinômio \( P(x) = (3x + 7)^{2021} - 1 \) é um número que contém \( n \) algarismos iguais a 9. Nessas condições, pode-se concluir que:

Sendo \( i \) a unidade imaginária, e

\( S = \sum^{1010} _{k = 0} i^{2k+1} \)

a única opção correta para o valor de \( S \) é:

O logotipo de um restaurante é a palavra ALENTO, com cada letra pintada com uma cor distinta. No esquema a seguir, vê-se o logotipo, com cada cor identificada por um número.

Para uma promoção, produziu-se guardanapos distintos, distinguíveis uns dos outros apenas pelas cores de cada letra da palavra ALENTO. Nesses diferentes guardanapos, as cores nas letras estão reordenadas em relação ao original do logotipo, de modo que nenhuma letra estivesse pintada com a cor original. O esquema a seguir exibe o que pode ser visto em um desses guardanapos.

Na promoção, o cliente que percebesse essa distinção, em relação ao original, do seu guardanapo, recebia uma sobremesa de brinde. Quantas sobremesas, no máximo, esse restaurante ofereceu de brinde?

Todos os números não nulos, inteiros ou racionais, podem ser representados na forma de uma dízima periódica. Por exemplo,

12,999… = 13

2,74999… = 2,75

Agora avalie as sentenças que seguem.

I. O conjunto dos números racionais é o conjunto formado pelo zero e por todos os números que têm uma representação na forma de uma dízima periódica.

II. Os conjuntos dos números racionais e irracionais têm a mesma cardinalidade.

III. O conjunto dos números irracionais é enumerável.

Sobre essas sentenças é correto afirmar que: