O fluxo de ar numa determinada tubulação pode ser simplificada pela fórmula ⌀ = V . A, onde ⌀ é o fluxo de ar, V é a velocidade do ar e A é área de um círculo, que representa secção reta desse tubo. A velocidade do ar nessa tubulação é uma função do raio da área dada por V(r) = αr² (r₀ - r), onde α é uma constante positiva e r₀ o raio normal a tubulação.

Assinale a alternativa corresponde ao valor do raio r da tubulação na qual terá o máximo fluxo possível.

Considere a figura pintada abaixo, construída a partir de cinco circunferências de raio 2 cm que se tangenciam. O valor do seu perímetro é:

Uma criança de 1,2 m de altura corre em direção a uma parede a uma razão de 2 m/s. Atrás dela e a 20 m do muro está um refletor que tem 2,8 m de altura, conforme figura. A rapidez com que o comprimento da sombra S da criança na parede estará variando no muro quando ela estiver a 16 m do refletor, é:

Considere a matriz !$ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0& x & 0 \\ x&-1 & 2\\ \end{vmatrix} !$

Para cada valor de x que faz com que a matriz A possua autovalores repetidos, definimos S(xi) como a soma dos três autovalores de A quando x=xi, onde i é um número natural que vai de 1 até k, que é o número máximo de valores distintos de x que proporcionam autovalores repetidos de A. O valor de !$ \sum_{i=1}^kS\left(x_i\right) !$ é

Na figura a seguir, o arco XDY é um quarto do círculo de centro em B e raio 10 cm. Sabe-se ainda que o perímetro do retângulo ABCD é 28 cm.

Assim, o perímetro da região sombreada é:

Dada a integral

...

!$ \int_c^{ }\left(e\ \dfrac{x^3}{5}+5z\ \right)dx\ +\left(\ e^y+2x\right)dy+\left(3y+z\right)dz !$ onde C é dado por !$ y\ (t) !$ = (3cost, 3sent, 1) com !$ t\ ∈\ \left[0,2\pi\right]. !$

...

O resultado obtido é

Uma aplicação para transformações lineares é a criptografia. Ao enumerar cada letra do alfabeto de 1 a 26:

E em seguida separam-se as letras das palavras dadas dois a dois, por exemplo: LI-NE-AR, formando três blocos que após substituição pela correspondência numérica serão as matrizes X (matriz coluna):

...

!$ LI !$ :!$ \begin{vmatrix} 12 \\9 \end{vmatrix} !$ ; !$ NE !$:!$ \begin{vmatrix} 14\\5 \end{vmatrix} !$ e !$ AR: !$ !$ \begin{vmatrix} 1\\18 \end{vmatrix} !$

Feito isso, a mensagem dada é criptografada ao multiplicar a matriz A por cada uma das matrizes X obtendo uma listagem numérica em módulo (26).

...

Sendo assim, considere o operador linear !$ T:\ ℝ^{^2}→ℝ^{^2} !$ dado por !$ T\left(X\right)=A.\ X, !$ onde !$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{vmatrix} !$

é chamada de matriz codificadora. Supondo que tenha sido enviada uma mensagem já criptografada com uma palavra contendo quatro letras representadas pela numeração: 4-5-14-15 que significam o mesmo que “DENO”. Ao quebrar o código criptografado, obtemos:

Um dos modelos de dinâmica populacional é devido ao matemático Pierre-François Verhulst na década de 1840. Verhulst propõe que a população de uma certa espécie se estabiliza para um valor de limite máximo sustentável devido a limitação de recursos do meio no qual a população está inserida.

...

A equação de Verhulst é dada por:

...

!$ \dfrac{dP}{dt}λP\left(1-\dfrac{P}{k}\right),\ \ λ>o,\ k\ >\ 0\ e\ \ t\ \ \ge\ 0, !$

Considere para o tempo t=0 a população inicial P₀=P(0)=10. Além disso, considere λ=0,05 e k=1000.

...

Nas condições do texto acima, o tempo em que a população se estabiliza em 800 é de aproximadamente:

37678

Considere o número !$ z=a+bi !$ , onde i é a unidade imaginária, e seu conjugado !$ \overline{z}= a - bi !$ com a e b números reais. Sobre a equação !$ z\overline{z}^{^2}+\dfrac{1}{z^2z}=2, !$ afirma-se que

Os números de Fibonacci são os números que pertencem a sequência formada pela seguinte relação de recorrência:

!$ \left\{\begin{matrix} & & F_{0} =1\\ & & F_{1}=1 \\ F_{n}= & F_{n-1} +F_{n-2},& n\geq 2. \\ \end{matrix}\right. !$

Sabendo que F₂₀ = 10946 e F₂₃ = 46368. O valor de F₂₄ é: