Seja !$ f: \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R} !$ uma função real definida por !$ f(x) = x^2 - \pi x !$. Sejam também !$ a !$, !$ b !$, !$ c !$ e !$ d !$ números reais tais que: !$ a = \text{sen}^{-1} \Bigl ( {1 \over 3} \Bigr ) !$; !$ b = \text{tan}^{-1} \Bigl ( {5 \over 4} \Bigr ) !$; !$ c = \text{cos}^{-1} \Bigl ( -{1 \over 3} \Bigr ) !$ e !$ d = \text{cotg}^{-1} \Bigl (- {5 \over 4} \Bigr ) !$. A relação de ordem, no conjunto dos reais, entre as imagens !$ f(a), f(b), f(c) \text{ e } f(d) !$ é

Seja !$ SABCD !$ uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo !$ ABCD !$. A aresta !$ SD !$ é a altura da pirâmide. Sabe-se que !$ \overline{AB} = \overline{BC} = \sqrt{5}, \overline{AD} = \overline{DC} = \sqrt{2}, \overline{AC} = 2 \text{ e } \overline{SA} + \overline{SB} = 7 !$. O volume da pirâmide é

Sejam uma circunferência !$ C !$ com centro !$ O !$ e raio !$ R !$, e uma reta !$ r !$ tangente a !$ C !$ no ponto !$ T !$. Traça-se o diâmetro !$ AB !$ oblíquo a !$ r !$. A projeção de !$ AB !$ sobre !$ r !$ é o segmento !$ PQ !$. Sabendo que a razão entre !$ OQ !$ e o raio !$ R !$ é !$ ^{\sqrt{7}} / _2 !$, o ângulo, em radianos, entre !$ AB !$ e !$ PQ !$ é

Em um quadrilátero !$ ABCD !$, os ângulos !$ A\hat{B}C !$ e !$ C\hat{D}A !$ são retos. Considere que !$ \text{sen}(B\hat{D}C) !$ e !$ \text{sen}(B\hat{C}A) !$ sejam as raízes da equação !$ x^2 + bx + c = 0 !$, onde !$ b, c \in \mathfrak{R} !$. Qual a verdadeira relação satisfeita por !$ b !$ e !$ c !$?

Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a !$ \sqrt{3} !$ e excentricidade igual a !$ {\sqrt{3} \over 2} !$. Considere que os pontos !$ A !$, !$ B !$, !$ C !$ e !$ D !$ representam as interseções da elipse com as retas de equações !$ y = x !$ e !$ y = -x !$. A área do quadrilátero !$ ABCD !$ é

Sabe-se !$ y.z.\sqrt{z. \sqrt{x}} = x.y^3.z^2 = {x \over z. \sqrt{y.z}} = e !$, em que !$ e !$ é a base dos logaritmos naturais. O valor de !$ x + y + z !$ é

Sejam !$ W = \{y \in \mathfrak{R}|2k + 1 \le y \le 3k - 5\} !$ e !$ S = \{ y \in \mathfrak{R}|3 \le y \le 22 \} !$. Qual é o conjunto dos valores de !$ k \in \mathfrak{R} !$ para o qual !$ W \ne \varnothing !$ e !$ W \subseteq (W \cap S) !$?

Qual é o menor número?

Seja a matriz !$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix} !$, em que !$ a !$, !$ b !$ e !$ c !$ são números reais positivos satisfazendo !$ abc = 1 !$. Sabe-se que !$ A^T A = I !$, em que !$ A^T !$ é a matriz transposta de !$ A !$ e !$ I !$ é a matriz identidade de 3ª ordem. O produto dos possíveis valores de !$ a^3 + b^3 + c^3 !$ é