A figura a seguir mostra um cursor \( P \) que desliza sobre uma barra com velocidade constante de módulo igual a \( u = 0,5 m/s \), em relação à barra. Simultaneamente ao movimento do cursor, a barra gira com velocidade angular constante de módulo igual a \( \omega = 2\, rad/s \).

No instante em que a distância do cursor ao eixo de rotação é igual a \( r = 1\, m \), o módulo da aceleração do curso é igual a

A figura mostra um corpo rígido que é formado por uma haste uniforme, de comprimento \( L \) e massa \( 2m \), e um aro (anel) uniforme, de raio \( R=\dfrac{L}{4} \) e massa \( M \), preso à haste.

O sistema pode girar livremente em torno de um eixo horizontal perpendicular à haste e passando na sua extremidade. Sabe-se que o corpo rígido é solto a partir do repouso com a haste na horizontal.

Dados:

• - Momento de inércia do anel em relação ao seu centro de massa: \( MR^2 \)

• Momento de inércia da haste em relação ao seu centro de massa: \( \dfrac{1}{12}m_h L^2 \)

No instante em que o sistema gira de um ângulo \( \theta \), o módulo da aceleração centrípeta de uma partícula localizada no centro de massa da haste, \( m/s^2 \), é igual a

A figura a seguir mostra uma haste rígida uniforme de massa \( M_h \) e comprimento \( L \), presa a um disco rígido uniforme de massa \( M_D \) e raio \( R \), sendo \( M_h = 3MD \) e \( L = 4R \). O centro de massa do disco coincide com o centro de massa da haste.

O conjunto haste-disco está inicialmente em repouso, e pode girar em torno de um eixo de rotação localizado na extremidade superior da haste. Uma partícula, de massa \( m \), atinge a extremidade inferior da haste com velocidade de módulo \( v \), ficando grudada na haste, ou seja, há um impacto perfeitamente inelástica entre a partícula e a haste.

Dados:

• Momento de inércia do disco em relação ao seu centro de massa: \( \dfrac{1}{2}M_D R^2 \)

• Momento de inércia da haste em relação ao seu centro de massa: \( \dfrac{1}{12}M_h L^2 \)

A energia cinética do sistema (haste – disco – partícula) no instante imediatamente após o impacto, em Joule, é igual a

Um tanque cilíndrico metálico, com diâmetro e altura iguais a 20m, está completamente cheio com um fluido cuja densidade é igual a 1400kg/m³.

Considerando a aceleração da gravidade igual a 9,8m/s² e desconsiderando o efeito da pressão atmosférica, o valor da força total que o fluido exerce sobre a superfície lateral do tanque é igual a

Sobre as leis de Newton, assinale a afirmativa correta.

Uma partícula de massa igual a 2kg se movimenta em linha reta. A aceleração da partícula é diretamente proporcional ao tempo t. Sabe-se que quando t = 0 a velocidade da partícula é igual a 16m/s, e que quando t = 1 s, a velocidade da partícula é igual a 15m/s.

O valor do módulo da força resultante aplicada à partícula do quinto segundo de movimento é igual a

A modelagem matemática de diversos fenômenos físicos resulta em equações ou sistemas de equações diferenciais ordinárias, cujos métodos de solução são de grande interesse e aplicação para as áreas de engenharias. Considere que a modelagem das tensões em V em dois componentes de um circuito elétrico, denominadas \( v_C (t) \) e \( v_R (t) \), com respeito ao acionamento no instante inicial de uma fonte de tensão \( v_{EX}(t) \) é dada pela seguinte equação:

\( \begin{cases} 2\dfrac{d^2v_C(t)}{dt^2}+4\dfrac{dv_c(t)}{dt}+8v_c(t)-2v_R(t)=v_{EX}(t)\\\dfrac{dv_R(t)}{dt}+3\dfrac{dv_C(t)}{dt}+7v_R(t)=0\end{cases} \)

Sabendo que a fonte de tensão \( v_{EX}(t) \) produz uma tensão constante de 10 V ao ser acionada, o equacionamento acima representado pode ser descrito por um sistema de equações diferenciais de 1a ordem dado por:

\( \dfrac{d}{dt}\begin{bmatrix} v_K\\v_C\\v_R \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} v_K\\v_C\\v_R \end{bmatrix}+B \), onde \( v_K(t)=\dfrac{dv_C(t)}{dt} \)

Nessas condições, as matrizes \( A \) e \( B \) são, respectivamente,

A resposta descrita pelos estados de um sistema dinâmico possui duas componentes: resposta natural e resposta forçada. De particular interesse é a resposta natural, a qual depende apenas da matriz de transição de estados \( \phi(t) \) e das condições iniciais desses estados. Considere um determinado sistema dinâmico linear e invariante no tempo, cuja matriz de estados pode ser fatorada em \( MLM^{−1} \) , onde as matrizes L e M são definidas por

\( L=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1 \end{bmatrix} \) e
\( M=\begin{bmatrix} 1&0\\-3&2 \end{bmatrix} \).

A matriz de transição de estados \( \phi(t) \) desse sistema é:

A representação de sistemas dinâmicos por modelo de espaço de estados estabelece um significado físico-conceitual às características matemáticas das matrizes de estado que compõem tal modelo. Nesse diapasão, ressalta-se os autovalores e autovetores da matriz de estados, os quais estão intimamente ligados a caracterização da dinâmica desse sistema.

Considere que um sistema dinâmico possui uma matriz de estado \( J \), a qual é descrita a seguir:

\( J=\begin{bmatrix} -2&0&1&0&1\\0&-2&1&&1&0\\1&0&1&0&0\\0&1&1&-2&0\\1&0&1&0&-2 \end{bmatrix} \)

Sabe-se ainda que esta matriz possui um autovetor \( v \), onde \( v = [0\,−1\,0\,1\,0] \). Nessas condições, um dos autovalores da matriz \( J \) é