Existe grande interesse no desenvolvimento de algoritmos mais eficientes para cálculo de autovalores, sobretudo em matrizes esparsas e de alta ordem, as quais naturalmente advém da modelagem de sistemas dinâmicos reais de grande porte.

Nesse contexto, considere um sistema de grande porte representado por uma matriz \( P \) dada por:

\( P=\begin{bmatrix}-1&3&0&0\\3&-1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1 \end{bmatrix} \)

Um dos autovalores da matriz \( P \) é

Os quaternions são uma espécie de extensão dos números complexos para três dimensões, muito utilizados na física e engenharias, como por exemplo no equacionamento da orientação de robôs manipuladores.

Considere os quaternions \( Q_1 \) e \( Q_2 \), dados por:

\( Q_1 = 1 − i \) e \( Q_2 = i − j + k \)

Sabendo que o quaternion \( Q_3 \) é dado por \( Q_3 = Q_1Q_2 \), o módulo de \( Q_3 \) é

Suponha que o número de lançamentos de satélites em órbita segue uma distribuição de Poisson com uma média de 6 por dia.

A probabilidade de que em um dia qualquer sejam lançados pelo menos 2 satélites é de

Considere que \( N \) termômetros meteorológicos são colocados em certa região dentro de uma circunferência de raio R

.

A probabilidade de a distância entre o centro da circunferência e o termômetro mais próximo ser maior que \( r \), sendo \( r < R \), é igual a

A figura a seguir mostra uma barra de 1m de comprimento ligada, por pinos, a trilhos que deslizam, sem atrito, em A na vertical para baixo e em B na horizontal para a direita.

No instante em que o ângulo da barra com a vertical é igual a \( \theta \) = 30°, a aceleração do ponto A da barra possui módulo igual a 4m/s2 e sua velocidade angular é igual a 2rad/s.

Para o instante em que \( \theta \) = 30°, o módulo da aceleração angular, em rad/s², da barra é igual a

Um satélite natural descreve uma órbita elíptica em torno de um planeta. A distância do satélite ao centro do planeta no apoastro é igual a \( 40 \times 10^{11}m \), e a distância do satélite ao centro do planeta no periastro é igual a \( 20 \times 10^{11}m \).

A velocidade máxima do satélite é igual a

Dado: \( G \times M_{planeta}=1,2 \times 10^{20}Nm^2/kg \), sendo G a constante gravitacional e Mplaneta é a massa do planeta.

Uma determinada indústria resolveu adicionar a sua planta um processo que realiza o tratamento térmico de peças metálicas, para que estas obtenham propriedades mecânicas desejadas. Esse processo consiste na inserção de uma peça dentro de um forno elétrico, cuja temperatura é controlada por um controlador do tipo PI, de função de transferência dada por


Após instalação do sistema, foi executado a função “autoajuste” presente no controlador PI, que estabeleceu um par de valores iniciais para as constantes K_p e T_i do respectivo controlador.
Em seguida, o sistema passou por um teste de validação, que consistiu na execução de um degrau na referência, com intuito de verificar como o sistema seguia a temperatura pré-determinada.
Ao analisar a resposta do sistema, verificou-se que a temperatura do forno possuía tempo de subida adequado, mas com tempo excessivo para eliminação de erro de estado estacionário.

Neste caso, para melhorar a resposta transitória desse sistema, se faz necessário

A estrutura de controle do tipo PID é largamente utilizada na indústria, por ser uma estratégia de controle de relativa simplicidade e com capacidade de conferir ao sistema importantes requisitos de desempenho.
Existem diversas técnicas para sintonia dos parâmetros desse tipo de controlador, a qual deve ser escolhida de acordo com as características do sistema como um todo.
Uma destas técnicas é o método

Em testes de comissionamento de sistemas de controle em operação é comum aplicar sinal do tipo degrau, uma vez que tal resposta contém características do desempenho transitório do sistema.
Considere que determinado sistema de controle é representado pela sua função de transferência de malha aberta N(s), dada por


Inicialmente, o valor do ganho do controlador K foi ajustado de forma a tornar o sistema em malha fechada criticamente amortecido.
Caso o ganho K seja ligeiramente aumentado, é esperado que o sistema tenha

Em testes de comissionamento de sistemas de controle em operação é comum aplicar sinais do tipo degrau e rampa, uma vez que essas respostas temporais contêm características do desempenho do sistema em regime permanente.
Considere um sistema de controle com realimentação unitária, cuja função de transferência de malha aberta possui um polo na origem. Quanto ao erro de regime permanente ao seguir sinais do tipo degrau e rampa, esse sistema apresentará