O número de todos os valores de !$ a ∈ [0, 2\pi] !$, distintos, para os quais o sistema nas incógnitas x, y e z, dado por

!$ \begin{cases} -4x + y -6z = \cos \, 3a \\ x + 2y - 5z = \sin \, 2a \\ 6x + 3y -4z = -2 \, \cos \, a \end{cases} !$,

é possível e não-homogêneo, é igual a:

Considere o conjunto !$ S = \left\{ (a,b) ∈ \mathbb{N} × \mathbb{N}: a + b= 18 \right\} !$. A soma de todos os números da forma !$ \large {18! \over a!b!} !$, !$ ∀ (a,b)∈ S !$, é:

Sejam A e P matrizes n x n inversíveis e !$ B = P^{–1} AP !$.

Das afirmações:

I. !$ B^T !$ é inversível e !$ (B^T)^{–1} = (B^{–1})^T !$.

II. Se A é simétrica, então B também o é.

III. !$ \det (A-λI)=\, \det(B-λI) !$, !$ ∀λ∈\mathbb{R} !$.

é(são) verdadeira(s):

Considere o triângulo isósceles OAB, com lados !$ \overline{OA} !$ e !$ \overline{OB} !$ de comprimento !$ \sqrt2 !$ R e lado !$ \overline{AB} !$ de comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado !$ \overline{AB} !$, é igual a:

Dividindo-se o polinômio !$ P(x) = x^5 + ax^4 + bx^2 + cx + 1 !$ por !$ (x – 1) !$, obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se !$ P(x) !$ por !$ (x + 1) !$, obtém-se resto igual a 3. Sabendo que !$ P(x) !$ é divisível por !$ (x – 2) !$, tem-se que o valor de !$ \large {ab \over c} !$ é igual a:

Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo !$ \left [ - \large { \pi \over 2} , \large { \pi \over 2} \right ] !$ e !$ [0, \pi] !$, respectivamente. Com respeito à função !$ f: [-1,1] \rightarrow \left [ - \large { \pi \over 2} , \large { 3\pi \over 2} \right ] !$, !$ f(x) = \arcsin \, x + \arccos \, x !$, temos que:

Considere o polinômio !$ P(x)=2x+a_2x^2+ ... + a_nx^n !$, cujos coeficientes !$ 2, a_2, ..., a_n !$ formam, nesta ordem, um progressão geométrica de razão !$ q > 0 !$. Sabendo que !$ - \large {1 \over 2} !$ é uma raiz de P e que P(2) = 5460, tem-se que o valor de !$ \large {n^2-q^3 \over q^4} !$ é igual a :

Considere uma função !$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ não-constante e tal que !$ f(x + y) = f(x) f(y) !$, !$ ∀x, y ∈ \mathbb{R} !$.

Das afirmações:

I. !$ f(x) > 0 !$, !$ ∀x ∈ \mathbb{R} !$.

II. !$ f(nx) = [f(x)]^n !$, !$ ∀x ∈ \mathbb{R} !$, !$ ∀n ∈ \mathbb{N}^* !$.

III. !$ f !$ é par.

é (são) verdadeira(s):

Considere a função

!$ f: \mathbb{Z} \backslash \{ 0\} \rightarrow \mathbb{R} !$, !$ f(x) = \sqrt{3^{x-2}} \,(9^{2x+1})^{1/(2x)}-(3^{2x+5})^{1/x}+1 !$.

A soma de todos os valores de x para os quais a equação !$ y^2 + 2y + f(x) = 0 !$ tem raiz dupla é:

Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4 cm de r. A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em !$ cm^2 !$, a: