Nas duas equações mostradas a seguir, x e y são variáveis e a e b são constantes.

!$ \large { y-a \over 2} + {y - x \over 5} + { y \over 4} = 0 !$e !$ \large {x -b \over 2} + { x - y \over 5} + { x \over 4} =0 !$

Essas equações podem ser compactadas em uma equação matricial do tipo !$ M. { \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}} = { \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}} !$ , na qual M é a matriz.

Sejam !$ T_1: R^3 \rightarrow R^2 !$e !$ T_2: R^2 \rightarrow R^4 !$ transformações lineares, em que !$ T_1= { \begin{bmatrix} 1\,\,0\,\,1\\0\,\,1\,\,0 \end{bmatrix}} !$ e !$ T_2= { \begin{bmatrix} 0\,\,1\\1\,\,3\\1\,\,0\\0\,\,2 \end{bmatrix}} !$. A matriz que representa a transformação linear, que é composição de T₁ e T₂, é

No sistema de equação !$ { \begin{bmatrix} Z_{1 (3x3)}\,\,Z_{2 (3x2)}\\ Z_{3(2x3)}\,\,Z_{4(2x2)} \end{bmatrix}}\, { \begin{bmatrix} X_1\\X_2\\X_3\\X_4\\X_5 \end{bmatrix}} = { \begin{bmatrix} y_1\\y_2\\y_3\\0\\0 \end{bmatrix}} !$ , tem-se que Z₁, Z₂, Z₃ e Z₄ são submatrizes, cujas dimensões são indicadas entre os parênteses. Deseja-se calcular as variáveis x₁, x₂ e x₃ pelo sistema reduzido .

A definição da matriz de coeficientes M do sistema reduzido, em função das submatrizes Z₁, Z₂, Z₃ e Z₄, é