Considere a função !$ f !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$ dada por !$ f(x)=2x+3 !$. Considere também a sequência de funções !$ (g_n)_{n∈\mathbb{N}} !$, em que !$ \mathbb{N}= !$ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} assim definida:

!$ g_1(x)= !$ !$ f(x) !$ ∀!$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$ e

!$ g_{k+1}(x)= !$ !$ (g_k(x)) !$ ∀!$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$

para todo !$ k !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$. É correto afirmar que

Uma equação diferencial ordinária do tipo !$ y"(t)+f(t)y'(t)+g(t)y(t)=h(t) !$, com a função !$ h !$ não identicamente nula no intervalo em que se busca a solução, é conhecida como uma equação de

Dadas duas funções !$ f !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$ e !$ g !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$, considere o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI) para a equação diferencial parcial conhecida como equação da onda:

!$ u_{tt} !$ = !$ c^2u_{xx} !$, !$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$, !$ t !$ > 0,

!$ u(x,0)=f(x),x ∈ \mathbb{R} !$ ,

!$ u_t(x,0)=g(x) !$, !$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$,

em que c é uma constante e !$ f(x) !$ e !$ g(x) !$ são as condições iniciais. Assumindo que !$ f(0)=2 !$, !$ g(0)= 0 !$ e que esse PVI tem uma solução !$ u !$ de classe !$ C^2 !$ em !$ \mathbb{R} !$ !$ \times !$ [0, !$ ∞ !$] tal que !$ u_x(x,t)= !$ - sen(!$ x !$ - !$ ct !$), quais são os valores de !$ f(π) !$ e !$ g(π) !$?

Se !$ A !$: !$ \mathbb{R} ^2 !$ → !$ \mathbb{R} ^2 !$ é um operador linear invertível tal que !$ A !$(2 , -3) = (-6 , -6) e !$ A !$(-6 , 6) = (18 , 12), assinale a alternativa que apresenta os vetores que constituem, respectivamente, a primeira e a segunda colunas da matriz de !$ A^{-1} !$ (a inversa de !$ A !$) relativamente à base canônica do espaço euclidiano !$ \mathbb{R} ^2 !$.

Um número real !$ a !$ é dito um ponto de acumulação do conjunto !$ X !$ !$ ⊂ !$ !$ \mathbb{R} !$ quando todo intervalo aberto centrado em a contém uma infinidade de elementos de !$ X !$. O conjunto de todos os pontos de acumulação de !$ X !$ é normalmente indicado por !$ X !$’. Sendo assim, para !$ X !$ = (0 , 1) !$ ∩ !$ !$ \mathbb{Q} !$, isto é, a intersecção do intervalo aberto (0 , 1) com o conjunto !$ \mathbb{Q} !$ dos números racionais, assinale a alternativa que apresenta corretamente o conjunto !$ X !$’.

Seja A: !$ \mathbb{R}^2 !$ → !$ \mathbb{R}^2 !$ um operador linear autoadjunto, isto é, vale a igualdade ⟨;!$ Au !$ , !$ v !$⟩; = ⟨;!$ u !$ , !$ Av !$⟩;, para todos !$ u !$, !$ v !$ ∈ !$ \mathbb{R}^2 !$, em que ⟨; ∙ , ∙ ⟩; representa o produto interno canônico do espaço euclidiano !$ \mathbb{R}^2 !$. Se A(-1 , 2) = (1 , 4) e a matriz de A na base canônica de !$ \mathbb{R}^2 !$ tem traço igual a 6, então o determinante desta matriz é

A média geométrica entre dois números positivos é definida como a raiz quadrada do produto desses números. Então, se em um triângulo retângulo a medida de um dos catetos é a média geométrica entre a medida do outro cateto e a medida da hipotenusa, qual é o seno do menor ângulo desse triângulo?

Considere as sequências numéricas !$ S_n=\sum_{k=1}^n k^1(i^k+i^{-k}) !$ e !$ T_n=\sum_{k=1}^n k^1(i^{2k}+i^{-2k}) !$ , em que !$ i !$ é a unidade imaginária, isto é, satisfaz !$ i^2 !$ = -1. Qual o valor da soma !$ S_{2022} !$ + !$ T_{2022} !$?

Sejam V_A e V_B os volumes dos sólidos A e B em !$ \mathbb{R^3} !$, respectivamente, em que

!$ A= !$ { !$ (x,y,z) ∈ \mathbb{R^3}:36x^2+8y^2+9\,z^2\le\,72 !$} e

!$ B= !$ { !$ (x,y,z) ∈ \mathbb{R^3}:x^2+y^2+z^2\le9 !$}.

Então, V_A e V_B são iguais, respectivamente, a

Sejam A e B as cônicas em !$ \mathbb{R^2} !$, cujas equações são 9!$ x^2 !$ + 4!$ y^2 !$ = 36 e 4!$ x^2 !$ + 9!$ y^2 !$ = 36, respectivamente. Seja !$ d_A !$ a distância entre os focos da cônica A. Seja, ainda, !$ d_B !$ a distância entre os focos da cônica B. Com base nisso, assinale a alternativa correta.