Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:

\( (1) Y=\beta_0+\beta_1Z+u \),

Esse modelo satisfaz as seguintes condições: \( E[u \mid Z]=0 \) e \( Var[u \mid Z]= σ^2 \). No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação (2) usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\( (2)Y=a_0+a_1X+ε \),

A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z:

\( (3) X=Z+w \),

onde \( w \) tem média zero e variância \( σ^2_w \). Além disso, \( w \) é distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Considere também que a variância populacional da variável não observada \( Z \) é igual a \( σ^2_Z \). Para estimar os parâmetros do modelo na equação (2), o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(X_1,Y_i,S_i):i=1,2,...,n\} \), onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue a afirmativa abaixo se é certo ou errado.

Item 0 - Sendo \( \hat{a}_1 \) o estimador de MQO para \( a_1 \) na equação (2), então o limite em probabilidade de \( \hat{a}_1 \) é dado por:

\( plim \, \hat{a}_1=\beta_1-{\large{\beta_1 σ^2_w \over σ^2_Z+σ^2_w}} \)

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 4 - Suponha que \( n=3 \), e que sejam propostos os seguintes estimadores para \( λ \):

\( \dot{λ}=\left({\large{X_1 \over 4}} \right)+\left({\large{X_2 \over 8}}\right)+\left({\large{X_3 \over 8}}\right) \)

\( \ddot{λ}=\left({\large{X_1 \over 3}} \right)+\left({\large{X_2 \over 12}}\right)+\left({\large{X_3 \over 12}}\right) \)

Podemos dizer que \( \ddot{λ} \) é eficiente em relação a \( \dot{λ} \) como estimador para o parâmetro \( λ \).

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 3 - Considere o seguinte estimador para \( λ : \tilde{λ}= {\large{\bar{X} \over 3}} \). Para \( n=4 \), o Erro Quadrático Médio (EQM) de \( \tilde{λ} \) é menor que que o EQM de \( \hat \lambda \).

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 2 - \( \hat{λ} \) é um estimador consistente para \( λ \).

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 1 - \( Var (\hat{λ})={\large{λ \over 4n}} \)

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 0 - Podemos dizer que \( \hat{λ} \) é um estimador não tendencioso para \( λ \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 4 - Sejam \( Z_1 \), \( Z_2 \), ..., \( Z_n \) variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli com parâmetro \( p \), onde \( 0 < p < 1 \). Definido \( \overline{Z}=\sum_{i=1}^n {\large{Z_i \over n}} \), podemos dizer que a variância de \( \overline{Z} \) se aproxima de zero quando \( n \rightarrow ∞ \), e que plim \( (\overline{Z})=p \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 3 - Sejam \( Y_1 \), \( Y_2 \), ..., \( Y_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_Y \) e variância \( σ^2_Y \), onde \( σ^2_Y < ∞ \). Então, plim \( (\overline{X}+\overline{Y})=\mu_X + \mu_Y \), onde \( \overline{Y}={\large{ \sum_{i=1}^n Y_i \over n}} \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 2 - Sejam \( T_1 \), \( T_2 \), ..., \( T_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_r \) e variância \( σ^2_T \), onde \( \mu_r > 0 \) e \( σ^2_T < ∞ \). Se \( \mu_T > \mu_X \), então:

plim \( \left({\large{\overline{X} \over \overline{T}}}\right)=0 \), onde \( \overline{T}={\large{ \sum_{i=1}^n T_i \over n}} \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 1 - Defina \( ω=h (\mu_x) \), onde \( h (\mu_x)=a+b \mu_x \), sendo \( a \) e \( b \) constantes positivas. Definindo \( H=a+b \overline{X} \) como estimador para \( ω \), temos plim \( (H)=a+b \mu_x \).