Considere a Equação Diferencial Parcial (EDP) Elíptica abaixo

!$ { \large \partial^2 u \over \partial x^2} + { \large \partial^2 u \over \partial y^2} = 4, x ∈ (0, 1), y ∈ (0,2); !$

!$ u(x, 0) = x^2, \quad x ∈ [0, 1]; !$

!$ u(x, 2) = (x - 2)^2, \quad x ∈ [0, 1]; !$

!$ u(0, y) = y^2, \quad y ∈ [0, 2]; !$

!$ u(1, y) = (y - 1)^2, \quad y ∈ [0, 2]; !$

!$ h = k = \ ^1/_2 !$

e as aproximações, a seguir:

!$ { \large \partial^2 u \over \partial x^2} (x_i, y_j) \cong { \large u(x_i + h, y_j) - 2u(x_i, y_j) + u(x_i - h,y_j) \over h^2}; !$

!$ { \large \partial^2 u \over \partial y^2} (x_i, y_j) \cong { \large u (x_i, y_j + k) - 2u(x_i, y_j) + u(x_i, y_j - k) \over k^2}; !$

Ao se aproximar a solução do problema, utilizando o método das Diferenças Finitas, o sistema linear !$ Aw = b, w_l = w_{ij} \cong u (x_i, y_j); l = (3 - j) + i, i = 1, 1 \le j \le 3 !$ é igual a:

Aproximações por diferenças finitas são aplicáveis aos métodos numéricos na solução de Equações Diferenciais Parciais, EDP. Com relação às Equações Parabólicas, o método das Diferenças:

O Método das Diferenças Finitas pode ser aplicado na solução de um Problema de Valor de Contorno (PVC). Considere as aproximações por diferenças centradas e o PVC de 2ª ordem abaixo:

!$ \begin{cases} y" + 2y' + y = x \\ y(0) = 1, \quad y(1) = -1 \\ h = 0,25; \end{cases} !$

A terceira equação do sistema linear, associada ao Método das Diferenças Finitas, na aproximação de !$ y(0,25), y(0,5) \ e \ y(0,75) !$, é:

O Método das Diferenças Finitas pode ser aplicado na solução de um Problema de Valor de Contorno (PVC). Considere as aproximações por diferenças centradas e o PVC de 2ª ordem abaixo:

!$ \begin{cases} y" + 2y' + y = x\\ y(0) = 1, \quad y(1) = 1 \\ h = 0,25; \end{cases} !$

O termo independente do sistema linear associado ao Método das Diferenças Finitas, na aproximação de !$ y(0,25), y(0,5) \ e \ y (0,75) !$, é:

Considere o método de Euler (método de Taylor de 1ª ordem)

!$ y_{n+1} = y_n + f(x_n, y_n) !$

e o Problema de Valor Inicial de 2ª ordem

!$ \begin{cases} y" - 2y' + y + x = 0 \\ y(0) = 1, \quad y'(0) = 2 \\ h = 0,25; \end{cases} !$

O valor aproximado de !$ y'(0,5) !$, utilizando arredondamento de quatro casas decimais, é:

Considere o método de Runge-Kutta de 2ª ordem, conhecido como método de Euler Melhorado

!$ Y_{n+1} = Y_n + { \large h \over 2} (k_1 + k_2) !$,

!$ k_1 = f(X_n, Y_n) !$,

!$ k_2 = f(X_n + h, Y_n + hk_1), !$

e o Problema de Valor Inicial (PVI)

!$ \begin{cases} y' = -y + 2x + 2 \\ y(1) = 5 \\ h = 0,5; \end{cases} !$

Seja !$ y(2) = 5,1036 !$ o valor exato da solução do PVI. O erro absoluto da aproximação da solução do PVI para !$ x = 2 !$ , utilizando o referido método e arredondamento de quatro casas decimais, é:

Os métodos numéricos de solução de Equações Diferenciais Ordinárias podem ser caracterizados em métodos implícitos e métodos explícitos. Com relação a esse conceito:

Considere o método de Taylor de 2ª ordem

!$ Yn+1 = Yn + hf_n + { \large h^2 \over 2} f'_n !$,

e o Problema de Valor Inicial:

!$ \begin{cases} y' = -y + x + 3 \\ y(1) = 2 \\ h = 0,1; \end{cases} !$

O valor aproximado de !$ y(1,2) !$, utilizando arredondamento de quatro casas decimais, vale:

Na teoria dos métodos numéricos de solução de Equações Diferenciais Ordinárias, o método de Taylor é caracterizado por ser:

Equações diferenciais parciais silo amplamente utilizadas para descrever fenômenos naturais, sobretudo aquela que dependem simultaneamente do tempo e de outras variáveis. Com relação às Equações Diferenciais Parciais Lineares de 2ª ordem e a sua caracterização, a equação: