Teorema de Gauss é um dos principais recursos utilizados para calcular o fluxo através de superfícies fechadas. Entretanto, ele também pode ser aproveitado nos casos em que a superfície é aberta, desde que ela seja completada de modo a se tomar fechada. Com base nesse texto, o fluxo do campo vetorial !$ \vec F (x, y, z) = e^{-z^2} \vec i + cos (x^3) \vec J + ({ \large 2 \over \pi}) (z + 1) \vec k !$ sobre a parte do paraboloide !$ z = 4 - x^2 - y^2 !$, que está acima do plano !$ xy !$, com orientação da normal para cima, vale:

Decidido a apagar um incêndio no topo de um prédio, um bombeiro de massa 74kg, munido de 2 baldes cheios de água, cada um com massa de 8 kg, sobe completamente a escadaria de um prédio de 36m de altura. A posição do profissional em função do tempo pode ser descrita pelas equações \( x(t) = 6cos(t), y(t) = 6 sen (t), z(t) = { \large a \over \sqrt \pi} \sqrt t \), em que \( x \), \( y \) e \( z \) são dados em metros e \( t \) em segundos. Com base nessas informações, considerando \( g = 10m/s^2 \) e \( \pi = 3,14 \), o trabalho realizado pelo bombeiro contra. a gravidade em sua trajetória, em kJ, vale:

O cálculo de integrais de linha pode ser facilitado por ferramentas, como o teorema fundamental das integrais de linha. o teorema de Green e o teorema de Stokes.

Com base nessa afirmação ,o valor de !$ \int_C z^2 dx + e^{-y^2} dy + xdz !$, em que C é a fronteira da parte do plano !$ x + y + 2z = 1 !$ que está no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima, é:

Em relação à teoria de parametrização de superfícies, a superfície de equação vetorial !$ \vec r (R, \theta) = Rcos (\theta) \vec t + Rsen (\theta) \vec J + (1 - Rcos(\theta) - Rsen (\theta)) \vec k !$; !$ 0 \le R \le 2,0 \le \theta \le 2\pi !$ representa a parte:

O cálculo de uma integral tripla pode ser facilitado por meio de uma mudança apropriada do sistema de coordenadas. Levando em consideração esse fato, !$ \int^\sqrt 8_0 \int^\sqrt {8-x^2}_0 \int^\sqrt {16-x^2-y^2}_\sqrt {x^+2 + y^2} \left ({ \large \pi \over 3}\right) x^2 z \ dzdydx !$ vale:

Rotacional (rot), divergente (div) e gradiente (grad) são três campos famosos relacionados à teoria de campos vetoriais. Em relação a eles, para um dado campo vetorial em !$ \mathbb R^3 , \vec F !$, cujas derivadas parciais de terceira ordem de cada uma de suas componentes são contínuas, a expressão

!$ grad \left( div \left(rot \left (\vec F (x_0, y_0, z_0) \right) \right) \right) !$

para !$ (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 3) !$ representa:

O cálculo da área de uma figura plana pode ser realizado com o auxílio de uma integral, que pode ser simples, dupla ou de linha. Com relação a esse assunto, é possível afirmar que a área da região delimitada pela curva !$ \vec r (t) = sen (2t)\vec i + 3 \ cos (t) \vec J, { \large \pi \over 2 } \le t \le { \large \pi \over 2} !$, orientada no sentido horário, vale, em unidade de área:

A integral dupla de uma função de duas variáveis positiva e contínua,!$ f(x, y) !$, definida em um domínio D, representa o volume do sólido que está abaixo de !$ f(x, y) !$ e acima de D.

Considerando !$ e = 2,72 !$, a integral !$ \int^1_0 \int^1_ \sqrt x e^{y^3} dydx !$:

A massa total, M, e as coordenadas do centro de massa !$ c = (\overline x, \overline y, \overline z) !$ de uma superfície curva, S, de densidade variável !$ p(x, y, z) !$ podem ser calculadas pelas seguintes relações:

!$ M = \iint_S p(x, y, z) dS, !$

!$ \overline x = { \large 1 \over M} \iint_S x \ p (x, y, z)dS, !$

!$ \overline y = { \large 1 \over M} \iint_S y \ p (x, y, z)dS, !$

!$ \overline z = { \large 1 \over M} \iint_S z \ p (x, y, z)dS. !$

Portanto, a soma do valor das três coordenadas do centro de massa do hemisfério !$ x^2 + y^2 + z^2 = 9, z \ge 0 !$, de densidade !$ p(x, y, z) = z !$, em unidades de massa, vale:

Se !$ \vec F !$ for um campo vetorial contínuo em uma região D, a integral de linha !$ \int_c \vec F d\vec r !$ independe do caminho se o seu valor for o mesmo para todo caminho conectando o ponto inicial e o ponto final de C. Em relação a esse assunto, os valores de A e B para o !$ \int_c 2xsen(2y)dx + (Ax^2 cos(2y) + 3y^2 e^{-z})dy + (By^2 e^{-z})dz !$ quais independe do caminho são respectivamente: