Nas afirmações a seguir informe (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas.

( ) Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então (A+B)² = A² + 2AB + B².

( ) A é uma matriz ortogonal de ordem n se e só se A é uma matriz invertível.

( ) Os vetores u=(1,2,-1), v=(2,4,-2) e w=(1,3,0) formam uma base de um espaço vetorial de dimensão 3.

( ) Se a, b, c, d, e e f são números reais não nulos e !$ \begin {cases} ax \, + \, by \, = \, e \\ cx \, + \, dy \, = \, f \end {cases} !$ possui uma única solução, então o determinante de !$ \begin {pmatrix} a \,\,\, b \\ c \,\,\, d \end {pmatrix} !$ é diferente de zero.

A sequência correta é:

Considere os seguintes vetores:

!$ \vec{u} \, = \, \begin {bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix}, \, \vec{v} \, = \, \begin {bmatrix} 0 \\ b \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix}, \, \vec{w} \, = \, \begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ c \\ 0 \end {bmatrix}, \, \vec {t} \, = \, \begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ d \end {bmatrix}. !$

Sabendo que o conjunto !$ \{ \vec{u}, \, \vec {v}, \, \vec{w}, \, \vec {t} \} !$ é uma base para o !$ \mathbb{R}^4 !$, julgue as afirmativas a seguir.

I – A soma a + b + c + d pode ser nula.

II – A soma a + b + c + d pode ser não-nula.

III – A soma a + b + c + d não pode ser nula.

IV – O produto abcd pode ser nulo.

V – O produto abcd pode ser não-nulo.

VI – O produto abcd não pode ser nulo.

VII – a = b = c = d = 1.

VIII – a = b = c = d !$ \ne !$ 0.

IX – a !$ \ne !$ b !$ \ne !$ c !$ \ne !$ d !$ \ne !$ 0.

Quantas afirmações são verdadeiras?

Um grupo de amigos, formado por homens e mulheres, realizou um torneio do jogo de damas no qual cada pessoa jogou uma partida contra os demais participantes. Pelas regras do torneio, em cada partida, o vencedor ganhou 1 ponto, o perdedor não ganhou nem perdeu pontos e, em caso de empate, cada jogador recebeu 0,5 ponto. Suponha que após terem sido disputadas todas as partidas, verificou-se que o número de pontos conquistados por cada participante nos jogos contra homens tenha sido o mesmo que conquistados nas partidas contra mulheres.

Sendo assim, é correto afirmar que a quantidade de participantes nesse torneio é um número

Dois amigos, Pedro e Vitor, têm o hábito de jogar e apostar entre si. Certo dia, criaram um jogo em que Pedro lançaria três vezes um dado honesto de 6 faces numeradas de 1 a 6. Em seguida, daria algumas dicas e Vitor deveria, baseado nessas dicas, tentar adivinhar a sequência dos três resultados dos lançamentos de Pedro.

Considere que as dicas a seguir, dadas por Pedro, são confiáveis, e que Vitor as utilizará da forma mais proveitosa possível:

Dica 1: não foram obtidos números primos em nenhum dos lançamentos.

Dica 2: no segundo lançamento, o resultado obtido foi um número par.

Dica 3: o resultado do terceiro lançamento foi diferente do segundo.

Quantas são as diferentes sequências de resultados que Vitor ainda possui como possibilidades para dar seu palpite?

Seja (S_n) uma sequência na qual cada termo é definido pela expressão !$ S_n \, = \, \dfrac {a+(n-1)r} {a \cdot r^{n-1)}} !$ com a e r constantes positivas, sendo r > 1.

O limite dessa sequência, quando !$ n \, \rightarrow \, \infty !$, é igual a

Seja !$ f : \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R} !$ definida por !$ f(x) \, = \, \dfrac {7+3cosx} {2+cosx}. !$

O valor máximo de f é igual a

Sejam f e g duas funções definidas, respectivamente, por f(x) = a₁ x + b₁ e g(x) = a₂ x + b₂ com o coeficiente angular da reta que representa o gráfico de f maior que o da reta que representa o gráfico de g.

Nessas condições o !$ lim (f(x) \, - \, g(x)) \\ x \rightarrow \infty !$ é igual a

Sejam f e g duas funções afins.

É correto o que se afirma em

Considere as funções !$ f: \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R}^*_+ !$ definida por !$ f(x) \, = \, 2^x !$ e !$ g:\mathbb{R}^*_+ \, \rightarrow \, \mathbb{R} !$ definida por g(x) = !$ log_{ \dfrac {1} {2}} !$ x.

Nessas condições, é correto afirmar que

Seja !$ f : \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R} !$ tal que !$ f (x) \, = \, \dfrac {2} {4^x + 2}. !$

Assim, o valor de

!$ \sum_{i=1}^{2000} \, f \, \begin {pmatrix} \dfrac {i} {2001} \end {pmatrix} !$

é igual a