A dependência e a independência linear referem-se à forma como os vetores de um conjunto estão relacionados, indicando se um vetor pode ou não ser representado como uma combinação linear dos outros vetores presentes no conjunto. Considere que três vetores em \( \mathbb{R^{3}},\overrightarrow{u}=(1,1,2),\overrightarrow{v} \)\( =\left(1,4,1\right) \) e \( \overrightarrow{w}=(a,0,b), \) com \( a,b \,\epsilon \,\mathbb{R}, \) sejam linearmente independentes.

Logo, \( a \) e \( b \) são valores reais, tais que

Os espaços vetoriais têm aplicações em muitas áreas que envolvem dados, sistemas dinâmicos, otimização e modelagem. Para que um conjunto de vetores seja um espaço vetorial deve satisfazer algumas condições. Observe, por exemplo os conjuntos de vetores

\( A=\left\{\left(a,2a,4a\right):a\ \epsilon\ ℝ\right\}; \) \( B=\left\{\left(1,\ y,\ z\right):\ y,\ z\ \ \epsilon\ ℝ\right\}; \) \( C=\left\{\left(x,\ x\ +4\right):\ x\ \epsilon\ ℝ\right\} \) e \( D= \) \( \begin{Bmatrix} {\begin{bmatrix} a & a+b \\ a & b \\ \end{bmatrix}: a, b\, \epsilon \, \mathbb{R}} \end{Bmatrix} \).

Quais desses conjuntos são espaços vetoriais reais?

As hipérboles e elipses fazem parte do grupo das cônicas, que são formas geométricas formadas a partir de cortes em um cone. São aplicadas em muitas áreas como astronomia, física, engenharia e arquitetura. Analise as afirmativas a seguir a respeito desse tipo de figuras e classifique com V, para as sentenças verdadeiras, e F, para as falsas.

( ) \( 3x^2 − y^2 + 18x + 8y + 38 = 0 \) representa uma hipérbole com centro O(-3, 4)

( ) \( 4x^2 − 9y^2 + 8x + 18y − 5 = 0 \) representa uma elipse com centro O(-3, 10)

( ) \( 3x^2 − 4y^2 − 36 = 0 \) representa uma hipérbole de excentricidade \( \dfrac{\sqrt{17}}{5} \)

A sequência correta, de cima para baixo, é

A curva descrita pela equação\( (x^2 + y^2)^2 = 10xy \) corresponde a uma lemniscata, que é uma figura semelhante a um laço.

Qual a representação da equação dessa curva em coordenadas polares?

Os extremos absolutos de uma função em um dado intervalo, quando existem, correspondem ao valor máximo absoluto ou mínimo absoluto da função neste intervalo. Seja, por exemplo, a função \( f \) definida por \( f\left(x\right)=\dfrac{1}{x-3}. \)

No intervalo [2, 4], essa função

Uma construtora está monitorando a oscilação de uma ponte suspensa. Para verificar se as condições da ponte estão de acordo com o esperado, realiza medições e compara com um modelo matemático que representa a vibração da ponte ao longo de um determinado intervalo de tempo, definido pela função \( y(t) = 5 + 3sen^2 \) \( \left(\dfrac{\pi t}{10}\right) \), onde \( y(t) \) representa a altura em milímetros de um ponto específico da ponte em relação ao seu ponto de equilíbrio, e \( t \) é o tempo, em segundo, após o início da medição.

Em relação a existência de extremos da função que representa o modelo de vibração da ponte, é correto afirmar que a função tem um ponto de

Durante a realização de um estudo para definir a localização de sensores em um parque de energia solar, o engenheiro responsável analisa a distribuição de pontos de medição em um sistema tridimensional. Os pontos de medição analisados são:

1. P(1,1,2) – posição de um sensor principal de monitoramento.
2. Q(1,2,3) – ponto de medição de temperatura.
3. R(2,3,4) – ponto de medição de radiação solar.
4. S(3,4,6) – ponto de medição de umidade.

Com base nas coordenadas desses pontos, o engenheiro verifica se as seguintes condições são atendidas:

I. Se os pontos Q, R e S estão alinhados (são colineares).

II. Se os pontos Q, R e S definem um plano.

III. Se os pontos P, Q, R e S não são coplanares.

Logo, o engenheiro conclui que, para esses pontos, apenas é(são) atendida(s) a(s) condição(ões):

Após o transbordamento de uma barragem, uma certa quantidade de água ficou represada em uma região de difícil acesso. Para determinar a quantidade de água represada, os técnicos sobrevoaram a região e representaram a área em um plano cartesiano, conforme a figura abaixo:

A região pintada corresponde à área alagada. As equações que representam as curvas que delimitam a região alagada foram definidas por \( y_1=x^2 \) e \( y_2=\dfrac{4}{\left(x+1\right)^2} \), com \( y \) e \( x \) em km.

Considerando essas informações, qual o valor, em quilômetro quadrado, que corresponde à medida da área alagada?

Em um campus do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, verificou-se que todo estudante, se não gosta de cálculo, gosta da área das linguagens e de história. Não há aluno que goste de cálculo ou da área das linguagens que não seja dedicado.

Logo, sobre os alunos desse campus, conclui-se que

Considerando as proposições \( p\ \) e \( q \) e a condicional \( p → q \), analise as afirmativas abaixo a respeito da equivalência lógica.

I. \( p → q \) e sua recíproca são equivalentes.

II. a proposição contrária de \( p → q \) e \( q → p \) são equivalentes.

III. a proposição contrapositiva de \( p → q \) é equivalente à \( \sim p → \sim q. \)

Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s):