A Expointer é uma feira agropecuária de destaque nacional e internacional realizada no Parque de Exposições Assis Brasil, na cidade de Esteio, no Rio Grande do Sul. A sua 46ª edição foi realizada em 2023 e, ao longo de todo o evento, foram recebidos 820 mil visitantes pagantes, um aumento de 5% em relação a 2022. Em 2024, a 47ª Expointer foi realizada de 24 de agosto a 1º de setembro e os ingressos para entrada na feira poderiam ser adquiridos online ou na bilheteria. O valor cobrado pelo ingresso era de R$ 18 por pessoa, com meia-entrada para idosos, estudantes e pessoas com deficiência. Crianças de até seis anos não pagavam.

Fonte: <https://www.canalrural.com.br>. Acesso em: 10/09/2024 (Adaptado)

Considere que, para a Expointer de 2024, os organizadores da feira estimavam um aumento no número de visitantes pagantes igual ao aumento do ano anterior em porcentagem e que, confirmada essa expectativa, o total arrecadado na bilheteria com a venda de ingressos fosse de R$ 12.159.000,00.

Qual é, aproximadamente, a porcentagem que representa o número de visitantes pagantes da meia entrada na Expointer de 2024?

A expansão binomial é uma ferramenta importante no estudo da álgebra, pode ser utilizada para simplificar cálculos ou para compreender relações entre variáveis de uma função. Ao expandir um binômio elevado a uma potência inteira e positiva identifica-se um polinômio que pode ser analisado para determinar o valor de coeficientes específicos. O desenvolvimento da potência \( \left(x^2-2\right)^{10} \) , por exemplo, resulta em polinômio na variável \( x \).

O coeficiente de \( x^2 \) no polinômio obtido por meio do desenvolvimento indicado é igual a

O afixo do número complexo \( \sqrt{3}+i \) determina um dos vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem do plano de Argand-Gauss. Esse quadrado possui um vértice em cada quadrante.

O vértice que está localizado no quarto quadrante é a imagem do número complexo:

A função \( f: ℝ → ℝ \) é definida por \( f(x) = x^5 − 13x^4 + 59x^3 − 107x^2 + 60x. \) As raízes da equação \( f \)(\( x \)) = 0 são: \( x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 3, x_4 = 4 \) e \( x_5 = 5. \) Suponha que a identificação das raízes fosse realizada através do método da bissecção com intervalo inicial \( [−2,6]. \)

Nessas condições, para qual raiz as iterações iriam convergir?

A taxa de variação de uma população ao longo do tempo \( t \) é proporcional ao valor atual de \( P \), e pode ser determinada pela equação diferencial \( \dfrac{dP}{dt}=r.P, \) com \( r \) sendo uma constante real. Sabe-se que \( r>0, \) que \( P\left(0\right)=1\ 000, \) e que a população aumenta ao longo do tempo.

A função \( P\left(t\right) \) que descreve a população ao longo do tempo é definida por

As séries convergentes possuem diversas aplicações na matemática e em outras áreas do conhecimento. Podem ser usadas para aproximar funções, modelar fenômenos físicos e calcular integrais complexas. Considere a série convergente dada por

\( \begin{matrix} \infty \\ \sum \\ k=1 \end{matrix} \) \( \left(\dfrac{2}{3^k}-\dfrac{3}{2^{k-1}}\right) \)

A soma da série resulta em

A derivada direcional representa a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Observe a função \( f(x, y, z) = x^2 + 3y^2 − z^2, \) diferenciável no ponto \( P = (1,1, 1), \) e considere um vetor u = 2i + j - k.

Qual é o valor da derivada direcional de \( f \) no ponto \( P \) e na direção e sentido do vetor u?

Um reservatório tem formato de um cone circular reto, conforme a figura. A geratriz tem 12 metros de comprimento e a medida do raio da base do cone, denotada por \( x \), é um valor que garante que o reservatório cônico tenha a maior capacidade possível.

Usando 3 como aproximação para \( \pi \) a medida \( x \), em metro, é igual a

Imagens digitais podem ser representadas como matrizes, onde cada elemento (ou pixel) da imagem tem um valor numérico que representa a intensidade ou cor do pixel. Essas matrizes podem ser muito grandes, especialmente quando lidamos com imagens de alta resolução. Nesse contexto, o uso de autovetores e autovalores contribui para reduzir a quantidade de dados, mantendo as informações essenciais das matrizes. Considere a matriz quadrada \( A \), de ordem 3, definida por:

\( A= \) \( \begin{bmatrix} 1 & 0&0 \\ 2& 4 & 0 \\ 0&1 & 4\\ \end{bmatrix} \)

Um autovetor associado ao autovalor \( \lambda=1 \) é

Uma transformação linear pode levar vetores de um espaço para outro preservando a estrutura linear, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. Considere a transformação linear \( T: ℝ^2 → ℝ^3 \), tal que \( T(1,1) = (1,2,3) \) e \( T(1,2) = (4,1,0). \)

A imagem de (\( 1,0 \)) pela transformação \( T \) é