Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

Considere a hipérbole H de equação !$ x^2- { \large y^2 \over 4} = 1 !$ Seja T um triângulo de vértices P; F1; F2, onde F1 e F2 são os focos de H e P um ponto em H. Sabendo que o perímetro de T é !$ 5 \sqrt{5} !$, o produto da medida dos lados de T é

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

Dado !$ z = 5 - 5 i \in \mathbb{C} !$ definimos !$ f(n) = | z^{ (2n + 1)} + | \bar{z}^{(2n + 1)} | !$ para cada !$ n \in \mathbb{N} !$. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

Seja ABC um triângulo retângulo tal que !$ B \hat{A} C = 30^{ \circ} !$. Considere D um ponto na hipotenusa !$ \overline{AC} !$ e retas r e s passando por D, paralelas aos lados !$ \overline{AB} !$ e !$ \overline{BC} !$, respectivamente. Se !$ E = r \cap \overline{BC}, F = s \cap \overline{AB} !$ e !$ m( \overline{BC}) =1 !$ o menor valor possível para !$ m( \overline{EF}) !$ é

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

Sejam f e g funções reais definidas da seguinte forma:

I.!$ g(x) \ge 0 !$, para todo !$ x \in \mathbb{R} !$

II. !$ f(x) \ge g(x) !$, para todo !$ x \in \mathbb{R} !$

III. !$ f(x) +g(x) \ge 0 !$, para todo !$ x \in \mathbb{R} !$.

É (são) sempre verdadeira(s):

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

A média harmônica de n números reais positivos !$ a_1,a_2, \cdots, a_n !$ é

!$ H = { \large n \over { \large 1 \over a_1} + { \large 1 \over a_2} + \cdots + { \large 1 \over a_n}} !$

Sabendo que o polinômio p(x) = 30x³-113x²+108x-30 possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de p(x) é

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

Considere as afirmações:

I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular.

II. Seja P um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de P é 240º.

III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de razão r = 1.

É (são) sempre verdadeira(s):

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

Sejam !$ z \in \mathbb{C} !$ e !$ f(z) = z^2 + i !$. Para cada !$ n \in \mathbb{N} !$ definimos !$ f^{(1} (z) = f(z) !$ e !$ f^{(n} (z) = f(z) = f( f^{(n -1)} (z)) !$. Então, !$ f^{(2023)}(0) !$ é

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

!$ ( \mathbb{N} = \left \{ 1,2,3 \dots \right \} !$ : denota o conjunto dos números naturais.

!$ \mathbb{R} !$ : denota o conjunto dos números reais.

!$ \mathbb{C} !$ : denota o conjunto dos números complexos.

i : denota a unidade imaginária, i² = -1:

!$ M_n \mathbb{R} !$: denota o conjunto das matrizes n x n de entradas reais.

!$ \overline{AB} !$ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

!$ A \hat{O} B !$: denota o ângulo formado pelas semi-retas !$ \vec{OA} !$ e !$ \vec{OB} !$, com vértice no ponto O.

!$ m( \overline{AB} ) !$: denota o comprimento do segmento !$ \overline{AB} !$.

detA : denota o determinante da matriz A.

Considere A !$ \in M_3( \mathbb{R}) !$ tal que existe um único número real x que satisfaz a equação !$ det ( \sqrt[3]{2x}^2 A) + det ( x A^3) = det A^2 !$. Então x + det A é

Considere uma maquina termica que opera com um ciclo termodinâmico composto de quatro etapas: (i) expansão isotermica, a temperatura T_q, saindo do volume inicial V₀ ate o volume final V_f ; (ii) resfriamento isocorico de Tq ate Tf ; (iii) compressão isotermica, a temperatura T_f , de V_f ate V₀; e (iv) aquecimento isocorico de T_f ate T_q. A maquina e inicialmente preparada para operar com o ar atmosférico como fluido de trabalho. Sobre esse sistema, são feitas as seguintes afirmações:

I. Aumentando-se a razão de expansão, r = V_f=V_i, e possível aumentar o rendimento da máquina mantendo os demais parâmetros fixos.

II. Se o fluido de trabalho fosse substitudo por um gas nobre, então o rendimento dessa máquina seria aumentado.

III. Considerando os parâmetros r = 10, T_f = 300 K e T_q = 900 K, o valor do rendimento da máquina e superior a 50%.

Sobre as afirmações I, II e III pode-se afirmar que

Leia o trecho destacado do conto “O peru de Natal”, de Mário de Andrade, e, em seguida, assinale a alternativa incorreta.

“Bem que sabiam, era loucura sim, mas todos se faziam imaginar que eu sozinho é que estava desejando muito aquilo e havia jeito fácil de empurrarem pra cima de mim a... culpa de seus desejos enormes.” (p. 72).