Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus !$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$ , em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

O teste de hipóteses em questão é monocaudal à esquerda.

Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus!$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$, em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

A função poder do teste em questão é

!$ {\beta (\mu) = \Phi { \Bigl (} {240 + \varepsilon - \mu \over 5} }{\Bigr )} !$ !$ {+ \Phi { \Bigl (} {240 - \varepsilon - \mu \over 5} }{\Bigr )}, !$

em que !$ 240 - \varepsilon !$ e !$ 240 + \varepsilon !$ representam, respectivamente, o menor e o maior valores de !$ \overline {T} !$ para os quais a hipótese nula será aceita.

Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus !$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$ , em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

O nível descritivo do teste, ou p-valor, está entre 1% e 5%.

Uma corporação é formada por uma empresa de mineração e uma empresa petrolífera. Considere que X represente as despesas mensais, em milhões de reais, com a recuperação de danos ao meio ambiente causados pela empresa de mineração e que Y represente as despesas mensais, também em milhões de reais, com a recuperação de danos ambientais causados pela empresa petrolífera. Considere, ainda, que X e Y sejam variáveis aleatórias cuja distribuição conjunta é dada por

!$ {f (x, y) = \quad {xy \over 96} }, !$

em que 0 < x < 4 e 0 < y < 5.

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

As despesas com a recuperação de danos ambientais das duas empresas são independentes.

Uma corporação é formada por uma empresa de mineração e uma empresa petrolífera. Considere que X represente as despesas mensais, em milhões de reais, com a recuperação de danos ao meio ambiente causados pela empresa de mineração e que Y represente as despesas mensais, também em milhões de reais, com a recuperação de danos ambientais causados pela empresa petrolífera. Considere, ainda, que X e Y sejam variáveis aleatórias cuja distribuição conjunta é dada por

!$ {f (x, y) = \quad {xy \over 96} }, !$

em que 0 < x < 4 e 0 < y < 5.

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

A probabilidade conjunta P (X < 1, Y < 1) é inferior a 1%.

Uma corporação é formada por uma empresa de mineração e uma empresa petrolífera. Considere que X represente as despesas mensais, em milhões de reais, com a recuperação de danos ao meio ambiente causados pela empresa de mineração e que Y represente as despesas mensais, também em milhões de reais, com a recuperação de danos ambientais causados pela empresa petrolífera. Considere, ainda, que X e Y sejam variáveis aleatórias cuja distribuição conjunta é dada por

!$ {f (x, y) = \quad {xy \over 96} }, !$

em que 0 < x < 4 e 0 < y < 5.

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

A equação matemática que descreve o valor esperado de X em função de Y depende unicamente de y.

Uma corporação é formada por uma empresa de mineração e uma empresa petrolífera. Considere que X represente as despesas mensais, em milhões de reais, com a recuperação de danos ao meio ambiente causados pela empresa de mineração e que Y represente as despesas mensais, também em milhões de reais, com a recuperação de danos ambientais causados pela empresa petrolífera. Considere, ainda, que X e Y sejam variáveis aleatórias cuja distribuição conjunta é dada por

!$ {f (x, y) = \quad {xy \over 96} }, !$

em que 0 < x < 4 e 0 < y < 5.

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

O valor esperado de Y é superior a 2,5 milhões de reais.

Um estudo acerca do tempo de espera para atendimento ao cidadão será efetuado em um órgão público. Sabe-se que o tempo de espera por pessoa − !$ X !$ −, em minutos, segue uma distribuição gama com densidade

!$ f(x) = {\lambda e^{\lambda x} (\lambda x)^{r-1} \over \Gamma (r)} !$

em que !$ x > 0 !$, !$ \lambda > 0 !$, !$ r > 0 !$ e !$ \Gamma (r) !$ representa a função gama. A idade do cidadão a ser atendido − !$ Y !$ −, em anos, que é a outra variável de interesse desse estudo, segue uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Considerando que !$ \mu = 45 !$ e !$ \sigma = 5 !$, é correto inferir que o percentual de pessoas com mais de 60 anos aguardando atendimento é inferior a 0,3%.

Um estudo acerca do tempo de espera para atendimento ao cidadão será efetuado em um órgão público. Sabe-se que o tempo de espera por pessoa − !$ X !$ −, em minutos, segue uma distribuição gama com densidade

!$ f(x) = {\lambda e^{\lambda x} (\lambda x)^{r-1} \over \Gamma (r)} !$

em que !$ x > 0 !$, !$ \lambda > 0 !$, !$ r > 0 !$ e !$ \Gamma (r) !$ representa a função gama. A idade do cidadão a ser atendido − !$ Y !$ −, em anos, que é a outra variável de interesse desse estudo, segue uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Considere que !$ z = {y - \mu \over \sigma} !$ e que !$ V !$ seja uma variável aleatória com distribuição !$ \chi^2_d !$. Nessa situação, é correto afirmar que a variável aleatória !$ T = { Z \over \sqrt {V / d}} !$ segue uma distribuição !$ t !$ de Student com !$ d !$ graus de liberdade e a variável aleatória !$ T^2 !$ tem distribuição !$ F !$ com 1 grau de liberdade no numerador e !$ d !$ graus de liberdade no denominador.

Um estudo acerca do tempo de espera para atendimento ao cidadão será efetuado em um órgão público. Sabe-se que o tempo de espera por pessoa − !$ X !$ −, em minutos, segue uma distribuição gama com densidade

!$ f(x) = {\lambda e^{\lambda x} (\lambda x)^{r-1} \over \Gamma (r)} !$

em que !$ x > 0 !$, !$ \lambda > 0 !$, !$ r > 0 !$ e !$ \Gamma (r) !$ representa a função gama. A idade do cidadão a ser atendido − !$ Y !$ −, em anos, que é a outra variável de interesse desse estudo, segue uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Com respeito à distribuição de !$ X !$, a lei forte dos grandes números estabelece que !$ {P \Bigl [ | X - \mu \ge k | \Bigr ] \le { \sigma^2 \over k^2}}, !$ em que !$ k !$ é uma constante positiva.