Uma empresa de seguros deseja estimar !$ z !$ = preço esperado (em reais) de determinado tipo de motocicleta em função de !$ x !$ = tempo de uso (em anos) e de !$ y !$ = quilometragem rodada (em km). Para isso, a empresa levantou os dados de seis motocicletas, cujos valores estão na tabela a seguir.

Quando !$ y = 0 !$ e !$ x = 0 !$ (a motocicleta é nova), seu preço é igual a R$ 60.000,00. Dois modelos de regressão linear foram considerados por essa empresa:

!$ (1) \, \, \, z = z_0 - ax + \varepsilon !$
!$ (2) \, \, \, z = z_0 - ax - by + \varepsilon , !$

em que !$ z_0 = !$ R$ 60.000,00 e !$ \varepsilon !$ representa um erro aleatório com média zero e desvio padrão constante igual a !$ \sigma !$.

Com base nessas informações e considerando que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ representam, respectivamente, as estimativas dos coeficientes !$ a !$ e !$ b !$, julgue o item seguinte acerca de regressão linear.

Com relação ao modelo (1), a estimativa de mínimos quadrados do coeficiente a satisfaz à relação seguinte.

!$ - z_0 \sum_i x_i + \hat {a} \sum_i x_i^2 - \sum_i x_i z_i = 0 !$

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Considerando a situação apresentada no texto, que !$ n = 8 !$ e que a tabela acima apresenta as alturas registradas (em cm) no décimo mês das plantas monitoradas, julgue o próximo item.

Não há evidências estatísticas contra a hipótese !$ H_0 !$ se o nível de significância escolhido for igual a 5%.

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Considerando a situação apresentada no texto, que !$ n = 8 !$ e que a tabela acima apresenta as alturas registradas (em cm) no décimo mês das plantas monitoradas, julgue o próximo item.

Se a hipótese !$ H_0 !$ for válida, então !$ {P ( X \le 1) = { 9 \over 256} }. !$

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Com base nas informações apresentadas, julgue o próximo item acerca do teste dos sinais.

Sob a hipótese !$ H_0 !$, a distribuição de !$ X^+ !$ é binomial com parâmetros !$ n !$ e !$ p = {1 \over 2}. !$

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Com base nas informações apresentadas, julgue o próximo item acerca do teste dos sinais.

Na situação apresentada, seria correto aplicar o teste dos sinais se a hipótese !$ H_0 !$ fosse: a média das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é igual a 200 cm.

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Com base nas informações apresentadas, julgue o próximo item acerca do teste dos sinais.

Se a afirmação da hipótese nula for verdadeira e se !$ n !$ for ímpar, então

!$ P(X=i) = {n \choose i} {1 \over 2^{n-1}} !$

para !$ i = 0,1, ..., {n - 1 \over 2}. !$

Para estimar a resistência elétrica média de certo material, foram realizadas 20 medições independentes, registrando-se, para cada medição !$ i !$, o valor correspondente da resistência elétrica !$ x_i !$. A resistência média observada a partir dessa amostra aleatória simples foi 12,5 Ohms e o desvio padrão amostral foi igual a 1,5 Ohms. Supondo que a resistência elétrica !$ X !$ siga uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$, ambos desconhecidos, e considerando que !$ P(T \le 2,09) = 0,975 !$, em que !$ T !$ é uma variável aleatória da distribuição !$ t !$ de Student, com 19 graus de liberdade, julgue o item que se segue.

A estimativa pontual de máxima verossimilhança para o desvio padrão populacional é inferior a 1,5 Ohms e essa estimativa é viciada (ou tendenciosa).

Para estimar a resistência elétrica média de certo material, foram realizadas 20 medições independentes, registrando-se, para cada medição !$ i !$, o valor correspondente da resistência elétrica !$ x_i !$. A resistência média observada a partir dessa amostra aleatória simples foi 12,5 Ohms e o desvio padrão amostral foi igual a 1,5 Ohms. Supondo que a resistência elétrica !$ X !$ siga uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$, ambos desconhecidos, e considerando que !$ P(T \le 2,09) = 0,975 !$, em que !$ T !$ é uma variável aleatória da distribuição !$ t !$ de Student, com 19 graus de liberdade, julgue o item que se segue.

A probabilidade de que !$ \mu !$ seja maior do que o limite superior do intervalo de confiança é de 5%.

Para estimar a resistência elétrica média de certo material, foram realizadas 20 medições independentes, registrando-se, para cada medição !$ i !$, o valor correspondente da resistência elétrica !$ x_i !$. A resistência média observada a partir dessa amostra aleatória simples foi 12,5 Ohms e o desvio padrão amostral foi igual a 1,5 Ohms. Supondo que a resistência elétrica !$ X !$ siga uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$, ambos desconhecidos, e considerando que !$ P(T \le 2,09) = 0,975 !$, em que !$ T !$ é uma variável aleatória da distribuição !$ t !$ de Student, com 19 graus de liberdade, julgue o item que se segue.

Os limites do intervalo de confiança simétrico de 95% para a média !$ \mu !$ são !$ 12,5 - { 3,135 \over \sqrt {19}} !$ e !$ 12,5 + { 3,135 \over \sqrt {19}}. !$

Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus !$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$ , em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

Se o nível de significância for de 5%, a conclusão do teste será aceitar a hipótese nula.