Considere-se uma amostra aleatória simples \( X_1, X_2 \) retirada de uma grande população com média igual a e desvio padrão igual a 3. Para a estimação da média populacional \( \mu \), um analista propôs os estimadores \( M_1 = { \Large { X_1 + X_2 \over 2}} \) e \( M_2 = { \Large { 2 \cdot X_1 + X_2 \over 3}} \). A respeito da média e da variância dos estimadores M ₁ e M ₂, assinale a alternativa correta.

Um indicador de qualidade de vida ( ) é definido como

\( V = { \Large { A \over B }} \),

em que e são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas como uma distribuição qui-quadrado com sete graus de liberdade. Sendo assim, o valor esperado do indicador será igual a

Considere-se que as variáveis aleatórias \( Q_1, Q_2 \) e \( Q_3 \) sejam independentes e que \( Q_1 \) siga distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade, \( Q_2 \) siga distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade e \( Q_3 \) siga distribuição qui-quadrado com três graus de liberdade. Com relação à soma \( W = Q_1 + Q_2 + Q_3 \), assinale a alternativa correta.

No que se refere às variáveis aleatórias normais independentes X e Y, tais que \( E \left [ X \right ] = E \left[Y\right]=3 \), \( Var \left[X \right] = 2 \) e \( Var \left[Y \right] = 1 \), assinale a alternativa correta.

Considere-se uma amostra aleatória \( X_1, X_2, X_3, X_4 \), em que \( X_K \) represente o tempo gasto (em horas) na \( k \)–ésima obra de drenagem em determinado aterro sanitário (para \( k \) = 1,2,3,4). Essas variáveis aleatórias são independentes e identicamente distribuídas e cada \( X \)_{\( k \)} é exponencial com média igual a quarenta horas. Nessa situação, sendo \( M \) uma variável aleatória que represente o tempo mínimo dessa amostra, ou seja, \( M = min \left\{X_1,X_2,X_3,X_4 \right\} \), o valor esperado da variável aleatória \( M \) será igual a

Uma variável aleatória discreta \( W \) pode assumir valores −1, 0 ou 1, de modo que \( P \left ( W = -1 \right) = P \left (W=1 \right) = p> 0 \) e \( P \left (W = 0 \right) = r > 0 \). Com relação aos momentos de \( W \), assinale a alternativa correta.

Se determinada contagem feita por um observador for uma variável aleatória discreta, tal que \( P \left ( X \ge K \right) = 0,2^{K-1} \), para \( K =1,2,3, \dots, \) então a esperança de \( \mathrm{X} \) será igual a