Suponha que a única condição para que ocorra ação da justiça itinerante hoje seja a realização de ação da justiça itinerante no dia imediatamente anterior, isto é, não depende das condições de dias anteriores.

Considere também que, se ocorrer ação da justiça itinerante hoje, então ocorrerá amanhã com probabilidade 0,6; e se ocorrer ação da justiça itinerante hoje, então não ocorrerá amanhã com probabilidade 0,3.

Associamos a ação “ocorrer ação da justiça itinerante” ao estado 1 e “não ocorrer ação da justiça itinerante” ao estado 0, o espaço de estados da cadeia de Markov é: S = {0, 1}. A matriz de transição, parcial, é dada por:

!$ P \, = \, \begin {pmatrix} \Box \, 0,3 \\ \Box \, 0,6 \end {pmatrix} !$

Considerando a distribuição inicial !$ \pi \, = \, (0,5 \,\, 0,5), !$ a distribuição do sistema na etapa “amanhã” é:

Considere a matriz de variância e covariância dada por

!$ \Sigma \, = \, \begin {pmatrix} 10 \,\,\,\,\, \sigma_{12} \,\,\,\,\, \sigma_{13} \,\,\,\,\, \sigma_{14} \\ \sigma_{21} \,\,\,\,\, 6 \,\,\,\,\, \sigma_{23} \,\,\,\,\, \sigma_{24} \\ \sigma_{31} \,\,\,\,\, \sigma_{32} \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, \sigma_{34} \\ \sigma_{41} \,\,\,\,\, \sigma_{42} \,\,\,\,\, \sigma_{43} \,\,\,\,\, 1 \end {pmatrix} !$

Suponha que os dois maiores autovalores dessa matriz sejam !$ \lambda_1 = 10,9 !$ e !$ \lambda_2 = 4,1. !$

Considerando a análise de componentes principais, o percentual de variação explicada por !$ \lambda_1 !$ e !$ \lambda_2 !$ é:

O gestor de uma grande sociedade empresária, para definir metas e indicadores de desempenho, cria uma base de dados com os resultados da última avaliação realizada com os funcionários. Essa avaliação formou uma base que pretende ser utilizada para tomada de decisões como promoções, aumentos salariais, transferências e até demissões.

Cada funcionário foi avaliado segundo os critérios de pontualidade, assiduidade, motivação, satisfação no trabalho e cumprimento das tarefas designadas, recebendo uma nota de 0 a 10 pontos para cada critério. Para simplificar a análise, agruparam-se os funcionários por similaridade de acordo com os critérios mencionados.

A técnica de análise multivariada mais adequada para criar os grupos e analisar o desempenho dos funcionários é:

Suponha !$ X \, = \, (X_1, \, X_2, \, X_3, \, X_4)^t !$ uma distribuição normal multivariada com matriz de covariância

!$ \Sigma \, = \, \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \,\,\, 2 \\ -1 \,\,\, -1 \,\,\, 3 \\ 0 \,\,\, -1 \,\,\, 0 \,\,\, 2 \end {pmatrix} !$

A variância de !$ X_1 \, + \, X_2 \, + \, X_3 \, + \, X_4 !$ é:

Com o objetivo de testar se um treinamento virtual melhoraria o desempenho de uma determinada tarefa, 5 indivíduos foram submetidos ao treinamento virtual e comparados com outros 5 indivíduos que não tiveram esse treinamento.

Os indivíduos foram submetidos a uma mesma tarefa repetidas vezes, e seus desempenhos foram mensurados.

Posteriormente, os indivíduos foram ordenados conforme mostra a tabela abaixo.

A Posição 1 indica a melhor performance e 10, a pior. O Grupo “T” indica que o indivíduo teve treinamento, e “NT”, que não teve treinamento.

Utilizou-se a Linguagem R para efetuar vários testes.

Entretanto, o resultado para o teste de hipóteses mais adequado é:

Um estatístico utilizou um modelo de regressão linear simples, !$ Y \, = \, \beta_0 \, + \, \beta_1 \, X \, + \, \varepsilon, !$ para fazer predições.

O modelo, com 20 observações, foi bem ajustado, atendendo a todos os pressupostos necessários, e os resultados foram:

!$ \hat{\beta_0} \, = \, 5; \, \hat{\beta_1} \, = \, 1,5; !$ soma dos quadrados dos resíduos, 9; variância de x, 28 e média de x, 22.

O intervalo bilateral de 95% de confiança para predição quando !$ x \, = \, 18 !$ é, aproximadamente:

Um experimento de campo para aprimoramento do combate ao ataque de formigas testou o efeito de um novo modelo de porta-iscas.

O experimento consistiu em espalhar 20 porta-iscas do novo modelo e, após um período de tempo, verificou-se o consumo das iscas em cada um dos recipientes.

Os resultados foram computados do seguinte modo: quando o consumo das iscas foi maior que a mediana histórica do consumo, registrou-se um sinal “+” (positivo), quando menor, um sinal “-” negativo e, se o consumo foi igual ao consumo mediano, o registrado foi um ponto “.”.

Os resultados do experimento foram: 15 positivos, 3 negativos e 2 pontos.

Para auxiliar nos cálculos, segue a tabela que apresenta os valores de 0,5¹⁵; 0,5¹⁸ e 0,5²⁰ multiplicados por uma constante k:

Utilizando o nível de 5% de significância, a conclusão do teste de hipótese é:

Duas sociedades empresárias, X e Y, produzem o mesmo produto e têm seus processos de produção sob controle e centrados no ponto médio da faixa de especificação.

Ambas operam com os limites de tolerâncias de 3 desvios padrões, ou seja, 3 sigmas acima e 3 sigmas abaixo do ponto médio.

Sabe-se que a amplitude da faixa de especificação é 0,21 e que os desvios padrões para as unidades X e Y são, respectivamente, 0,03 e 0,04. Com base na capacidade do processo (Cp), conclui-se que:

Um estatístico deseja testar se os efeitos de utilizar dois lubrificantes, de marcas diferentes, no processo de fabricação de uma indústria, são distintos.

Para isso, ele planeja executar um experimento controlado, aplicando cada marca de lubrificantes em uma amostra de máquinas idênticas, ou seja, a escolha das máquinas não afeta o resultado do teste. As amostras de máquinas para testar cada lubrificante têm o mesmo tamanho.

Desse modo, o estatístico selecionou uma amostra aleatória simples, supondo a população infinita, com distribuição normal, e desvios padrões conhecidos iguais a 1,5 e 1,6.

O número de máquinas selecionadas para testar cada lubrificante, de tal forma que o erro na estimação da diferença entre as médias observadas seja menor que 1, com 95% de confiança, é:

Um processo experimental gera vetores com grande quantidade de observações.

Em uma execução do experimento, são gerados 5 milhões de vetores, cada um de tamanho 1.000.

Para reduzir o espaço de armazenamento de dados, armazena-se apenas a soma, !$ \Sigma_{\chi}, !$ e a soma dos quadrados, !$ \Sigma_{\chi^2}, !$ as observações de cada vetor.

Se, para um destes vetores, !$ \Sigma \, \chi \, = \, 800 !$ e !$ \Sigma \, \chi^2 \, = \, 999,64, !$ então o coeficiente de variação é, aproximadamente: