A função de densidade — f(x) — de uma variável aleatória X é apresentada a seguir.

!$ f(x) \, = \, \dfrac {5} {(1 \, + \, x)^2}, !$ se 0 !$ \le !$ x !$ \le !$ 0,25; e f(x) = 0, nos demais casos. Considere que u seja uma realização de uma distribuição uniforme no intervalo (0, 1). Nesse caso, uma realização de X pode ser gerada por meio de

Cinco usuários de certo serviço público foram selecionados ao acaso para avaliar, em uma escala de 0 a 10, dois aspectos — A e B — relativos a determinado serviço.

Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.

Considere que as distribuições das notas dos cinco usuários mencionados no texto sejam aproximadamente normais com médias $\mu_A$ e $\mu_B$ e que deseja-se testar $H_0: \, \mu_A \, = \, \mu_B$ versus $H_1: \, \mu_A \, \ne \, \mu_B.$ Considerando ainda a existência de pareamento dos dados, a tabela a seguir apresenta algumas estatísticas acerca das notas atribuídas pelos usuários.

A partir dessas novas informações, julgue os próximos itens acerca do teste t.

I Considerando o pareamento da amostra, a razão t é igual a $\dfrac {0,26} {0,52}.$

II A distribuição amostral da razão t possui 5 graus de liberdade.

III O erro padrão na estimativa da média da diferença entre as notas é igual a 0,52.

A quantidade de itens certos é igual a

Cinco usuários de certo serviço público foram selecionados ao acaso para avaliar, em uma escala de 0 a 10, dois aspectos — A e B — relativos a determinado serviço.

Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.

O coeficiente de associação de Kendall (!$ \iota !$) para a situação descrita no texto produz um valor igual a

Cinco usuários de certo serviço público foram selecionados ao acaso para avaliar, em uma escala de 0 a 10, dois aspectos — A e B — relativos a determinado serviço.

Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.

O coeficiente de associação de Spearman (!$ \rho_s !$) para a situação descrita no texto produz um valor entre

Um estudo coletou dados acerca da idade e do tempo de estudo de N = 62 indivíduos, dos quais 31 são do sexo masculino e 31 são do sexo feminino. As matrizes de covariância amostrais para os indivíduos do sexo masculino — S₁ — e feminino — S₂ —, referentes aos dados de idade e tempo de estudo, são !$ S_1 \, = \, \begin {bmatrix} 4 \,\, 2 \\ 2 \,\, 8 \end {bmatrix} !$ e !$ S_2 \, = \, \begin {bmatrix} 6 \,\, 2 \\ 2 \,\, 6 \end {bmatrix}. !$

Deseja-se testar a hipótese nula H₀: !$ \Theta_1 \, = \, \Theta_2 \, = \, \Theta, !$ em que !$ \Theta_1 !$ e !$ \Theta_2 !$ são as matrizes de covariâncias populacionais para os indivíduos do sexo masculino e feminino, respectivamente.

Considere que a estatística do teste da razão de verossimilhança — M — seja dada pela expressão a seguir, em que S é a estimativa da matriz de covariância !$ \Theta !$ sob a hipótese nula.

!$ M \, = \, (N \, - \, 2) In \, \mid S \mid \, - \dfrac {(N \, - \, 2)} {2} \sum_{k=1}^2 In \, \mid S_k \mid !$

Acerca da estatística M, referida no texto, julgue os itens subseqüentes.

I M segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado.

II A distribuição amostral de M pressupõe que o par formado pela idade e o tempo de estudo siga aproximadamente uma distribuição normal bivariada.

III Para um valor N suficientemente grande, a estatística M segue aproximadamente uma distribuição normal padrão.

A quantidade de itens certos é igual a

Um estudo coletou dados acerca da idade e do tempo de estudo de N = 62 indivíduos, dos quais 31 são do sexo masculino e 31 são do sexo feminino. As matrizes de covariância amostrais para os indivíduos do sexo masculino — S₁ — e feminino — S₂ —, referentes aos dados de idade e tempo de estudo, são !$ S_1 \, = \, \begin {bmatrix} 4 \,\, 2 \\ 2 \,\, 8 \end {bmatrix} !$ e !$ S_2 \, = \, \begin {bmatrix} 6 \,\, 2 \\ 2 \,\, 6 \end {bmatrix}. !$

Deseja-se testar a hipótese nula H₀: !$ \Theta_1 \, = \, \Theta_2 \, = \, \Theta, !$ em que !$ \Theta_1 !$ e !$ \Theta_2 !$ são as matrizes de covariâncias populacionais para os indivíduos do sexo masculino e feminino, respectivamente.

Considere que a estatística do teste da razão de verossimilhança — M — seja dada pela expressão a seguir, em que S é a estimativa da matriz de covariância !$ \Theta !$ sob a hipótese nula.

!$ M \, = \, (N \, - \, 2) In \, \mid S \mid \, - \dfrac {(N \, - \, 2)} {2} \sum_{k=1}^2 In \, \mid S_k \mid !$

A partir das informações apresentadas no texto, !$ \mid S \mid !$ é igual a

Um processo estocástico de tempo discreto forma uma seqüência de variáveis aleatórias {W_t}, t = 1, 2, ..., n, com média zero e função de autocovariância apresentada a seguir, em que

!$ \gamma \, > \, 0 !$ e !$ \alpha \, \ne \, 0. !$

!$ φ !$(h) = !$ \gamma^2 !$ (1 + !$ \alpha^2 !$), se h = 0;

!$ φ !$(h) = !$ \gamma^2 \, \alpha !$, se !$ \mid h \mid !$ = 1; e

!$ φ !$(h) = 0, se !$ \mid h \mid !$> 1.

Acerca do processo{W_t} mencionado no texto, assinale a opção correta.

Um processo estocástico de tempo discreto forma uma seqüência de variáveis aleatórias {W_t}, t = 1, 2, ..., n, com média zero e função de autocovariância apresentada a seguir, em que

!$ \gamma \, > \, 0 !$ e !$ \alpha \, \ne \, 0. !$

!$ φ !$(h) = !$ \gamma^2 !$ (1 + !$ \alpha^2 !$), se h = 0;

!$ φ !$(h) = !$ \gamma^2 \, \alpha !$, se !$ \mid h \mid !$ = 1; e

!$ φ !$(h) = 0, se !$ \mid h \mid !$> 1.

A variância do processo{W_t}, referido no texto, é igual a

Um processo estocástico de tempo discreto forma uma seqüência de variáveis aleatórias {W_t}, t = 1, 2, ..., n, com média zero e função de autocovariância apresentada a seguir, em que

!$ \gamma \, > \, 0 !$ e !$ \alpha \, \ne \, 0. !$

!$ φ !$(h) = !$ \gamma^2 !$ (1 + !$ \alpha^2 !$), se h = 0;

!$ φ !$(h) = !$ \gamma^2 \, \alpha !$, se !$ \mid h \mid !$ = 1; e

!$ φ !$(h) = 0, se !$ \mid h \mid !$> 1.

Dado um número real R e sabendo que i é o número imaginário, a densidade espectral do processo mencionado no texto pode ser corretamente representada como

Uma série temporal estacionária {X_t}, t = 1, 2,..., n , é definida por X_t = !$ \lambda !$ X_t-1 + a_t, em que a_t representa o ruído aleatório observado no instante t, E(a_t) = 0 e Var(a_t) = !$ \lambda !$ > 0. Seja !$ \hat{X}_{n+1} !$ o melhor preditor linear para a próxima observação X_n+1.

Considerando as informações acima, julgue os itens que se seguem.

I A variância do processo X_t é igual a !$ \lambda !$.

II !$ \hat{X}_{n+1} \, = \, \lambda X_n !$

III E (X_n+1 - !$ \hat{X} !$_n+1)² = !$ \lambda^2 !$.

A quantidade de itens certos é igual a