Um levantamento estatístico foi realizado com o objetivo de produzir uma estimativa para o tempo médio diário, em minutos, gasto por jovens na Internet. A população de jovens foi dividida em dois estratos — I e II — que são compostos, respectivamente, por 2.000 e 3.000 pessoas.

Uma amostra de 500 jovens foi retirada ao acaso e os resultados estão apresentados na tabela a seguir.

Ainda com base nas informações do texto, a variância do estimador do tempo médio, em minutos, gasto pelos jovens na Internet, é um valor

Um levantamento estatístico foi realizado com o objetivo de produzir uma estimativa para o tempo médio diário, em minutos, gasto por jovens na Internet. A população de jovens foi dividida em dois estratos — I e II — que são compostos, respectivamente, por 2.000 e 3.000 pessoas.

Uma amostra de 500 jovens foi retirada ao acaso e os resultados estão apresentados na tabela a seguir.

Com base nas informações do texto, é correto afirmar que a estimativa do tempo médio, em minutos, gasto pelos jovens na Internet é igual a

Deseja-se estimar o número de eleitores por residência em certa zona rural. A população, composta por 3.000 domicílios, foi dividida geograficamente em 300 regiões, das quais 3 foram selecionadas ao acaso. Cada região possui exatamente 10 domicílios.

Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.

Com base nas informações apresentados no texto, a estimativa do número médio de eleitores por domicílio — M — e o seu respectivo erro padrão — E — são tais que

Deseja-se estimar o número de eleitores por residência em certa zona rural. A população, composta por 3.000 domicílios, foi dividida geograficamente em 300 regiões, das quais 3 foram selecionadas ao acaso. Cada região possui exatamente 10 domicílios.

Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.

Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.

I O levantamento foi realizado por amostragem aleatória estratificada, em que cada região forma um estrato.

II No total, foram observados 78 eleitores e a alocação foi aproximadamente uniforme entre os estratos.

III O levantamento foi realizado em duas etapas e a unidade amostral primária é o domicílio.

A quantidade de itens certos é igual a

Uma organização deseja estimar a média das despesas em cultura e lazer das 1.000 pessoas que vivem em uma pequena comunidade. Sabe-se que a despesa total per capta em 2004 foi de R$ 900,00. Em 2006, um levantamento, com 100 pessoas dessa comunidade, selecionadas aleatoriamente, observou dados sobre as despesas em 2006 — x — e as despesas em 2004 — y.

Os resultados foram os seguintes:

!$ \dfrac {\sum_{k=1}^{100} \, x_k} {100} \, = \, R$ \, 1.200,00 !$ e !$ \dfrac {\sum_{k=1}^{100} \, y_k} {100} \, = \, R$ \, 1.000,00. !$

Com base nessas informações, é correto afirmar que o estimador de razão da despesa total per capta em 2006 produz um valor entre

Considere as estatísticas a seguir, em que Y₁, Y₂, ..., Y_n seja uma amostra aleatória simples de uma população com média zero e com momentos centrais finitos.

Q2 = mediana(Y₁, Y₂, ..., Y_n);

!$ \overline{Y} \, = \, \dfrac {\sum_{k=1}^n Y_k} {n} !$

!$ S \, = \, \sqrt{ \dfrac {\sum_{k=1}^n (Y_k \, - \, \overline{Y})^2} {n-1}} !$

!$ M_3 \, = \, \dfrac {\sum_{k=1}^n (Y_k \, - \, \overline{Y})^3} {n \sigma^3} !$

!$ M_4 \, = \, \dfrac {\sum_{k=1}^n (Y_k \, - \, \overline{Y})^4} {n \sigma^4} !$

!$ T_1 \, = \, \dfrac {\overline{Y} \, - \, Q_2} {S} !$

!$ H_1 \, = \, \dfrac {\sum_{k=1}^n \, sen \, Y_k} {n} !$

A quantidade de estatísticas entre as apresentadas acima, que medem o grau de assimetria é igual a

Uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X_n foi retirada de uma população f(x).

Considere que se deseja testar a hipótese nula !$ H_0: f(x) \, = \, f_0(x) \, = \, \dfrac {2^m x^{m-1} exp(-2x)} {(m - )!} !$versus a hipótese alternativa !$ H_1: f(x) \, = \, f_1(x) \, = \, \dfrac {3^m x^{m-1} exp(-3x)} {(m - 1)!} !$, em que m é um número inteiro. Considere também que, pela estatística !$ \land !$ do teste da razão de verossimilhança, a hipótese nula será rejeitada se !$ \land !$ < g, em que g é um valor real não negativo.

Acerca do teste da razão de verossimilhança mencionado no texto, julgue os itens que se seguem.

I Sob a hipótese nula, a distribuição assintótica da estatística !$ \dfrac {In \, \land} {n} !$ é aproximadamente normal.

II Entre os testes de tamanho !$ \alpha !$, o teste da razão de verossimilhança é o mais poderoso.

III O erro do tipo II ocorre quando a hipótese nula é rejeitada sendo que, na realidade, ela é verdadeira.

A quantidade de itens certos é igual a

Uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X_n foi retirada de uma população f(x).

Considere que se deseja testar a hipótese nula !$ H_0: f(x) \, = \, f_0(x) \, = \, \dfrac {2^m x^{m-1} exp(-2x)} {(m - )!} !$versus a hipótese alternativa !$ H_1: f(x) \, = \, f_1(x) \, = \, \dfrac {3^m x^{m-1} exp(-3x)} {(m - 1)!} !$, em que m é um número inteiro. Considere também que, pela estatística !$ \land !$ do teste da razão de verossimilhança, a hipótese nula será rejeitada se !$ \land !$ < g, em que g é um valor real não negativo.

Segundo as informações apresentadas no texto, é correto afirmar que o logaritmo natural da estatística !$ \land !$ do teste da razão de verossimilhança, ln !$ \land !$, é igual a

Considere que Y₁, Y₂, ..., Y_n seja uma amostra aleatória simples de uma população cuja distribuição é dada pela função de densidade f(y) = !$ \lambda !$ exp[-!$ \lambda !$(y - !$ \alpha !$)], se y !$ \ge !$ !$ \alpha !$; e f(y) = 0, se y < !$ \alpha !$, em que !$ \lambda !$> 0 e - !$ \infty !$ < !$ \alpha !$ < +!$ \infty !$ são os parâmetros da distribuição.

Considere ainda as estatísticas a seguir.

Y₍₁₎ = min(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

Y_(n) = max(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

!$ \overline{Y} \, = \, \sum_{k=1}^n \, \dfrac {Y_k} {n} !$

Considere que o parâmetro ", mencionado no texto, tenha um valor conhecido e que !$ \overline{Y} !$ seja o estimador para a média populacional.

Nessa situação, julgue os itens a seguir.

I !$ \overline{Y} !$ é um estimador não tendencioso para a média populacional.

II O erro quadrático médio do estimador !$ \opverline{Y} !$ para a média populacional é igual a !$ \dfrac {1} {\lambda^2}. !$

III O erro padrão de !$ \overline{Y} !$ é igual a !$ \dfrac {\lambda} {\sqrt{n}}. !$

A quantidade de itens certos é igual a

Considere que Y₁, Y₂, ..., Y_n seja uma amostra aleatória simples de uma população cuja distribuição é dada pela função de densidade f(y) = !$ \lambda !$ exp[-!$ \lambda !$(y - !$ \alpha !$)], se y !$ \ge !$ !$ \alpha !$; e f(y) = 0, se y < !$ \alpha !$, em que !$ \lambda !$> 0 e - !$ \infty !$ < !$ \alpha !$ < +!$ \infty !$ são os parâmetros da distribuição.

Considere ainda as estatísticas a seguir.

Y₍₁₎ = min(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

Y_(n) = max(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

!$ \overline{Y} \, = \, \sum_{k=1}^n \, \dfrac {Y_k} {n} !$

Considere que o parâmetro " mencionado no texto tenha um valor conhecido e que se deseja obter, pelo critério de mínimos quadrados, um estimador para !$ \dfrac {1} {\lambda} !$ que minimize !$ Q \, = \, \sum_{k=1}^n (Y_k \, - \, E(Y_k))^2. !$ Nessa situação, no procedimento de estimação via mínimos quadrados, o estimador para !$ \dfrac {1} {\lambda} !$

I é !$ \overline{Y} \, - \, \alpha. !$

II não é tendencioso.

III é consistente.

A quantidade de itens certos é igual a