Avalie se as seguintes distribuições pertencem à família exponencial:

I. Bernoulli(θ)

II. Poisson(λ)

III. Geométrica(θ)

IV. Normal(μ, 1)

Pertencem de fato à família exponencial

Em relação ao modelo de regressão linear simples Y = α +  βX + ε , avalie se os pressupostos a seguir estão corretos.
I. Os erros  ε_i são não correlacionados. II. Os erros  ε_i têm média 0 e variância comum σ² . III. Os erros  ε_i têm distribuição Normal.
Está correto o que se pressupõe em

Considere um modelo de regressão linear simples

Y = α + βX + ε

para o qual uma amostra aleatória simples (x₁, y₁), ..., (x_n, y_n) seja obtida.

Nesse caso, usando a notação usual, as estimativas de α e β obtidas pelo método dos mínimos quadrados serão dadas, respectivamente, por \(\widehat{\alpha} = \overline{y}- \widehat{\beta}\overline{x}\) e

Para testar a hipótese nula de homogeneidade H₀: p₁ = p₂ = p₃ = p₄ entre as diferentes classes em que uma vaiável populacional multinomial (p₁, p₂, p₃, p₄) é classificada, uma amostra aleatória de tamanho 400 foi obtida e revelou os seguintes dados:



O valor da estatística de teste qui-quadrado adequada para testar essa homogeneidade será então, sob H₀, igual a

Para testar a hipótese nula de independência entre dois atributos A e B, uma amostra aleatória simples de n indivíduos será obtida, sendo cada indivíduo classificado de acordo com ambos os atributos. O atributo A terá seis classes distintas, mutuamente exclusivas e exaustivas; o atributo B terá cinco classes, igualmente mutuamente exclusivas e exaustivas.
Se n for suficientemente grande, a estatística de teste adequada para testar essa independência terá distribuição qui-quadrado com o seguinte número de graus de liberdade:

Para testar H₀: μ ≤ 120 versus H₁: μ > 120, sendo μ a média de uma distribuição normal com variância igual a 64, uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi obtida e revelou uma média amostral igual a 124.
O p-valor associado ao critério de teste adequado para o problema é, aproximadamente, igual a

Para testar H₀: μ ≥ 40 versus H₁: μ < 40, em que μ é a média de uma variável populacional, uma amostra aleatória simples de tamanho n = 625 foi obtida e apresentou os seguintes dados: 



Nesse caso, o critério de decisão mais indicado rejeitará H₀, ao nível de significância de 5%,se

Se X₁, X₂,..., X_n é uma amostra aleatória simples de uma distribuição Normal com média μ e variância σ² , então a variável        tem distribuição

Para testar H₀: p = 0,5 versus H₁: p = 0,8, sendo p uma probabilidade de ‘sucesso’, uma amostra aleatória simples de tamanho 5 será observada e será usado o critério que rejeita H₀ se o número de ‘sucessos’ na amostra for maior ou igual a 4.
A probabilidade de erro tipo I desse critério é

Se X₁, X₂,..., X_n é uma amostra aleatória simples de uma densidade exponencial dada por f(x; θ) = θe^{- θx} , x > 0, então o estimador de θ pelo método dos momentos é