Um estudo pretende testar a hipótese de que um gene A pode ser considerado como gene diferencialmente expresso entre dois grupos. Sejam !$ x_1 !$, … , !$ x_n !$ uma amostra aleatória do primeiro grupo e !$ y_1 !$, … , !$ y_m !$ uma amostra aleatória do segundo grupo. Usando as médias amostrais de cada grupo, !$ \bar{x} !$ e !$ \bar{y} !$, e as variâncias amostrais (não viesadas), !$ s !$!$ 2\\x !$ e !$ s !$!$ 2\\y !$, o intervalo de confiança !$ IC_{1-a} !$ para !$ μ_x-μ_y !$, neste caso, é dado por

Essa tabela apresenta a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias !$ X_1 !$, !$ X_2 !$ independentes, ambas com distribuição binomial com parâmetros !$ n\,= !$ 5 e !$ p !$ 0,5 (!$ X_1 !$ coluna e !$ X_2 !$ linha).

Para testar a hipótese nula !$ H_0 !$: !$ p\,= !$ 0,5 contra a alternativa !$ H_1 !$: !$ p\,= !$ 0,25 com base na observação de uma amostra aleatória simples de tamanho 2, usando o teste de razão de verossimilhança, quais os valores de !$ X_1 !$, !$ X_2 !$ rejeitam a hipótese nula com nível de significância de 2%?

Seja !$ x_1 !$, … , !$ x_n !$ uma amostra aleatória simples de uma distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$. Para testar a hipótese nula !$ H_0 !$: !$ p\,= !$ 0,5 contra a alternativa !$ H_1 !$: !$ p !$ = 0,25, utilizando a razão de verossimilhança !$ γ^(n) !$, obter-se-á

Seja !$ X !$ uma variável aleatória com distribuição binomial !$ B !$(10, !$ p !$), onde !$ p !$ !$ ∈ !$ (0,1). Suponha que se tenha somente uma observação !$ x !$ = 2. Assumindo que a distribuição a priori para p seja uniforme no intervalo (0, 1), os estimadores bayesianos para a média (!$ \widehat{p}^B_{média} !$ ) e para a moda (!$ \widehat{p}^B_{moda} !$) da distribuição a posteriori, serão

Suponha que a variável aleatória !$ X !$ tenha distribuição binomial !$ B(n,p) !$ onde !$ n !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$ e !$ p !$ !$ ∈ !$ !$ (0,1) !$. Qual será a distribuição de !$ X !$ sabendo que o parâmetro !$ p !$ tem distribuição uniforme no intervalo (0,1)?

Seja !$ \widehat{θ}_{ML} !$ o estimador de máxima de verossimilhança no caso de uma amostra aleatória simples de tamanho !$ n !$ para o parâmetro !$ θ !$ da distribuição de Poisson. Utilizando uma distribuição a priori !$ p(θ) !$ proporcional à !$ θ^{a-1} !$ e !$ ^{-βθ} !$, onde !$ a !$ !$ \ge !$ 1 e !$ β !$ > 0, a razão entre os estimadores bayesianos para a média (!$ \widehat{θ}^B_{média} !$ ) e a moda (!$ \widehat{θ}^B_{moda} !$ ) é dada por

Considere uma amostra aleatória de 20 observações de uma população normal, com parâmetros desconhecidos !$ μ !$ (média) e !$ σ^2 !$ (variância). Ao utilizar os estimadores média amostral (!$ \bar{x} !$) e a variância amostral (!$ s^2 !$), o intervalo de confiança !$ IC_{1-a} !$ para parâmetro !$ μ !$ será dado por

Seja !$ X=(X_1,...,X_n) !$ uma amostra aleatória simples em que !$ X_1,...,X_n !$ são variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas que têm distribuição exponencial com taxa !$ λ !$ (ou média !$ λ^{-1} !$). Considerando !$ \widehat{λ} !$ !$ =\dfrac{n-1}{\sum_{i=1}^nX_i} !$ como estimador para !$ λ !$, com !$ n !$ > 2, a informação de Fisher !$ I(θ)=E(\dfrac{(∂Inf(x|θ)}{∂θ}) !$ e o teorema de Cramér-Rao permitem concluir que

Considere a situação em que não se tenha amostra piloto, mas que se pretenda utilizar um intervalo de 95% de confiança com margem de erro de 0,05. Nesse caso, qual deve ser o tamanho mínimo, !$ n !$, da amostra?

Considere o modelo de regressão linear múltipla !$ y_i=a+b_1x_1+^{...}+b_px_p+ε_i,i=1,...,n. !$ Supondo que !$ ε_i !$ tem distribuição normal com média 0 e variância !$ σ^2 !$, pode-se escrever a função de verossimilhança e achar os estimadores de máxima verossimilhança !$ \widehat{Θ}_{ML}=(\widehat{a}_{ML},\widehat{b}_{1,ML},...,\widehat{b}_{p,ML})^T !$ e !$ \widehat{σ}\overset{2}{ML} !$ . Ao usar o método de mínimos quadrados é possível obter os estimadores !$ \widehat{Θ}_{LS}=(\widehat{a}_{LS},\widehat{b}_{1,LS},...,\widehat{b}_{p,LS}) !$. A relação entre esses estimadores é