Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 4 - Os estimadores de mínimos quadrados ordinários e de máxima verossimilhança coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos.

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 3 - A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores ineficientes.

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 2 - Se o termo de erro for perfeitamente correlacionado com a variável explicativa é impossível obter o estimador de MQO.

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 1 - A omissão da variável explicativa relevante para explicar a variável dependente torna a estimativa dos parâmetros \( (\beta_1, ..., \beta_k) \) tendenciosa e inconsistente, se e somente se, a variável omitida for correlacionada com a respectiva varável explicativa \( (x_1,...,x_k) \) incluída no modelo.

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 0 - A hipótese de que \( V(u \mid X)=σ^2 \) não é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam consistentes.

Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:

\( (1) Y=\beta_0+\beta_1Z+u \),

Esse modelo satisfaz as seguintes condições: \( E[u \mid Z]=0 \) e \( Var[u \mid Z]= σ^2 \). No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação (2) usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\( (2)Y=a_0+a_1X+ε \),

A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z:

\( (3) X=Z+w \),

onde \( w \) tem média zero e variância \( σ^2_w \). Além disso, \( w \) é distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Considere também que a variância populacional da variável não observada \( Z \) é igual a \( σ^2_Z \). Para estimar os parâmetros do modelo na equação (2), o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(X_1,Y_i,S_i):i=1,2,...,n\} \), onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue a afirmativa abaixo se é certo ou errado.

Item 4 - Suponha que o pesquisador tenha acesso a uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(T_i,Y_i):i=1,2,...,n\} \), e que a variável \( T \) seja tal que: \( T=Z+ν \). Suponha que \( ν \) tenha média \( \mu_ν > 0 \) e variância \( σ^2_ ν \), e que \( ν \) seja distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Sendo \( \hat{δ}_1 \) e o estimador de MQO para \( δ_1 \) na equação \( Y= δ_0 + δ_1T+φ \), temos: \( plim \, \hat{δ}_1=\beta_1-{\large{\beta_1 σ^2_ν \over σ^2_Z+σ^2_ν}} \)

Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:

\( (1) Y=\beta_0+\beta_1Z+u \),

Esse modelo satisfaz as seguintes condições: \( E[u \mid Z]=0 \) e \( Var[u \mid Z]= σ^2 \). No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação (2) usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\( (2)Y=a_0+a_1X+ε \),

A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z:

\( (3) X=Z+w \),

onde \( w \) tem média zero e variância \( σ^2_w \). Além disso, \( w \) é distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Considere também que a variância populacional da variável não observada \( Z \) é igual a \( σ^2_Z \). Para estimar os parâmetros do modelo na equação (2), o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(X_1,Y_i,S_i):i=1,2,...,n\} \), onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue a afirmativa abaixo se é certo ou errado.

Item 3 - Definindo \( \hat{a}_0 \) como o estimador de MQO para \( a_0 \) na equação (2), podemos dizer que o limite em probabilidade de \( \hat{a}_0 \) é dado por:

\( plim \, \hat{a}_0=\beta_0+\beta_1 \left({\large{ σ^2_w \over σ^2_Z+σ^2_w}}\right) \bar{X} \), onde \( \bar{X}={\large{\sum_{i=1}^n X_i \over n}} \).

Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:

\( (1) Y=\beta_0+\beta_1Z+u \),

Esse modelo satisfaz as seguintes condições: \( E[u \mid Z]=0 \) e \( Var[u \mid Z]= σ^2 \). No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação (2) usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\( (2)Y=a_0+a_1X+ε \),

A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z:

\( (3) X=Z+w \),

onde \( w \) tem média zero e variância \( σ^2_w \). Além disso, \( w \) é distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Considere também que a variância populacional da variável não observada \( Z \) é igual a \( σ^2_Z \). Para estimar os parâmetros do modelo na equação (2), o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(X_1,Y_i,S_i):i=1,2,...,n\} \), onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue a afirmativa abaixo se é certo ou errado.

Item 2 - Defina \( \hat{γ}_1={\large{\sum_{i=1}^n (S_i-\bar{S})Y_i \over \sum_{i=1}^n (S_i-\bar{S})X_i}} \), onde \( \bar{S}={\large{\sum_{i=1}^n S_i \over n}} \). Então, \( \hat{γ}_1 \) é um estimador consistente para o parâmetro \( \beta_1 \).

Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:

\( (1) Y=\beta_0+\beta_1Z+u \),

Esse modelo satisfaz as seguintes condições: \( E[u \mid Z]=0 \) e \( Var[u \mid Z]= σ^2 \). No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação (2) usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\( (2)Y=a_0+a_1X+ε \),

A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z:

\( (3) X=Z+w \),

onde \( w \) tem média zero e variância \( σ^2_w \). Além disso, \( w \) é distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Considere também que a variância populacional da variável não observada \( Z \) é igual a \( σ^2_Z \). Para estimar os parâmetros do modelo na equação (2), o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(X_1,Y_i,S_i):i=1,2,...,n\} \), onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue a afirmativa abaixo se é certo ou errado.

Item 1 - O estimador de MQO para \( a_1 \) na equação (2) apresenta um viés de atenuação em relação ao parâmetro \( \beta_1 \). Para um valor fixo de \( σ^2_w \), esse viés de atenuação aumenta à medida que \( σ^2_Z \) aumenta.

Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:

\( (1) Y=\beta_0+\beta_1Z+u \),

Esse modelo satisfaz as seguintes condições: \( E[u \mid Z]=0 \) e \( Var[u \mid Z]= σ^2 \). No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação (2) usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\( (2)Y=a_0+a_1X+ε \),

A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z:

\( (3) X=Z+w \),

onde \( w \) tem média zero e variância \( σ^2_w \). Além disso, \( w \) é distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Considere também que a variância populacional da variável não observada \( Z \) é igual a \( σ^2_Z \). Para estimar os parâmetros do modelo na equação (2), o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(X_1,Y_i,S_i):i=1,2,...,n\} \), onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue a afirmativa abaixo se é certo ou errado.

Item 0 - Sendo \( \hat{a}_1 \) o estimador de MQO para \( a_1 \) na equação (2), então o limite em probabilidade de \( \hat{a}_1 \) é dado por:

\( plim \, \hat{a}_1=\beta_1-{\large{\beta_1 σ^2_w \over σ^2_Z+σ^2_w}} \)