Dados uma função derivável \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) e um \( t ∈ \mathbb{R} \) quaisquer, a taxa de crescimento de \( f \) em \( t \) é definida pela razão \( f'(t)/f(t) \), e denotamos por \( \hat{f}(t) \) o resultado da seguinte razão: \( f'(t)/f(t) \). Avalie a veracidade do item abaixo:

Item 4 - Se \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) é derivável e \( t ∈ \mathbb{R} \), então \( (\widehat{f \, º \, f})(t)=\hat{f}(f(t))\hat{f}(t)f(t) \).

Dados uma função derivável \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) e um \( t ∈ \mathbb{R} \) quaisquer, a taxa de crescimento de \( f \) em \( t \) é definida pela razão \( f'(t)/f(t) \), e denotamos por \( \hat{f}(t) \) o resultado da seguinte razão: \( f'(t)/f(t) \). Avalie a veracidade do item abaixo:

Item 3 - Se \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) é derivável e \( t ∈ \mathbb{R} \), então \( (\widehat{exp \, º \, f})(t)=(ln \, º f)' (t) \); onde exp: \( \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) denota a função exponencial e \( ln:(0, ∞) \rightarrow \mathbb{R} \) a função logarítmica, ambos de base \( e \) (número de Euler).

Dados uma função derivável \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) e um \( t ∈ \mathbb{R} \) quaisquer, a taxa de crescimento de \( f \) em \( t \) é definida pela razão \( f'(t)/f(t) \), e denotamos por \( \hat{f}(t) \) o resultado da seguinte razão: \( f'(t)/f(t) \). Avalie a veracidade do item abaixo:

Item 2 - Se \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) é derivável e \( t ∈ \mathbb{R} \), então \( (\widehat{1/f})(t)=-\hat{f}(t) \).

Dados uma função derivável \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) e um \( t ∈ \mathbb{R} \) quaisquer, a taxa de crescimento de \( f \) em \( t \) é definida pela razão \( f'(t)/f(t) \), e denotamos por \( \hat{f}(t) \) o resultado da seguinte razão: \( f'(t)/f(t) \). Avalie a veracidade do item abaixo:

Item 1 - Se \( f,g: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) são deriváveis e \( t ∈ \mathbb{R} \), então \( (\widehat{fg})(t)=\hat{f}(t)+\hat{g}(t) \).

Dados uma função derivável \( f: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) e um \( t ∈ \mathbb{R} \) quaisquer, a taxa de crescimento de \( f \) em \( t \) é definida pela razão \( f'(t)/f(t) \), e denotamos por \( \hat{f}(t) \) o resultado da seguinte razão: \( f'(t)/f(t) \). Avalie a veracidade do item abaixo:

Item 0 - Se \( f,g: \mathbb{R} \rightarrow (0, ∞) \) são deriváveis e \( t ∈ \mathbb{R} \), então \( (\widehat{f+g})(t)=\hat{f}(t)+\hat{g}(t) \)..

Julgue o item abaixo como certo ou errado:

Item 4 - \( \textstyle \sum_{n=0}^{+ ∞} (-1)^n {\large{(2025 \pi)^{2n+1} \over (2n+1)!}}=0 \).

Julgue o item abaixo como certo ou errado:

Item 3 - \( \textstyle \sum_{n=-1}^{+∞} 44(45)^{-n}=2025 \).

Julgue o item abaixo como certo ou errado:

Item 2 - Se \( (x_n) \) é uma sequência de números reais com a propriedade de que \( x_{n+1} \le {\large{x_n+x_n+2 \over 2}} \) para todo \( n \ge 1 \), e \( x=\textstyle \lim_{n \rightarrow + \infty} x_n \), então \( x \le 0 \).

Julgue o item abaixo como certo ou errado:

Item 1 - \( \underset{n\rightarrow \infty }{\lim } \cos(2025 \pi n)=1 \).

Julgue o item abaixo como certo ou errado:

Item 0 - A sequência de números reais \( (x_n) \) com termo geral \( x_n=1-\left({\large{1 \over 3}} \right)^{2^n} \) converge para \( \large{2 \over 3} \).