Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 4 - Suponha que \( n=3 \), e que sejam propostos os seguintes estimadores para \( λ \):

\( \dot{λ}=\left({\large{X_1 \over 4}} \right)+\left({\large{X_2 \over 8}}\right)+\left({\large{X_3 \over 8}}\right) \)

\( \ddot{λ}=\left({\large{X_1 \over 3}} \right)+\left({\large{X_2 \over 12}}\right)+\left({\large{X_3 \over 12}}\right) \)

Podemos dizer que \( \ddot{λ} \) é eficiente em relação a \( \dot{λ} \) como estimador para o parâmetro \( λ \).

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 3 - Considere o seguinte estimador para \( λ : \tilde{λ}= {\large{\bar{X} \over 3}} \). Para \( n=4 \), o Erro Quadrático Médio (EQM) de \( \tilde{λ} \) é menor que que o EQM de \( \hat \lambda \).

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 2 - \( \hat{λ} \) é um estimador consistente para \( λ \).

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 1 - \( Var (\hat{λ})={\large{λ \over 4n}} \)

Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:

\( f(x)= \begin{cases} {\large{xe^{-{\large{x \over λ}}} \over λ^2}} , & \text{x }>\text{ 0,} \\ 0 & \text{caso }\text{ contrário} \end{cases} \)

Onde \( λ \) é um parâmetro desconhecido, tal que \( λ > 0 \). Definido \( \overline{X} \) como a média amostral, ou seja, \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \), é proposto o seguinte estimador para \( λ : \hat{λ}={\large{\bar {X} \over 2}} \). Usando essas informações, é certa ou errada a afirmativa abaixo:

Item 0 - Podemos dizer que \( \hat{λ} \) é um estimador não tendencioso para \( λ \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 4 - Sejam \( Z_1 \), \( Z_2 \), ..., \( Z_n \) variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli com parâmetro \( p \), onde \( 0 < p < 1 \). Definido \( \overline{Z}=\sum_{i=1}^n {\large{Z_i \over n}} \), podemos dizer que a variância de \( \overline{Z} \) se aproxima de zero quando \( n \rightarrow ∞ \), e que plim \( (\overline{Z})=p \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 3 - Sejam \( Y_1 \), \( Y_2 \), ..., \( Y_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_Y \) e variância \( σ^2_Y \), onde \( σ^2_Y < ∞ \). Então, plim \( (\overline{X}+\overline{Y})=\mu_X + \mu_Y \), onde \( \overline{Y}={\large{ \sum_{i=1}^n Y_i \over n}} \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 2 - Sejam \( T_1 \), \( T_2 \), ..., \( T_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_r \) e variância \( σ^2_T \), onde \( \mu_r > 0 \) e \( σ^2_T < ∞ \). Se \( \mu_T > \mu_X \), então:

plim \( \left({\large{\overline{X} \over \overline{T}}}\right)=0 \), onde \( \overline{T}={\large{ \sum_{i=1}^n T_i \over n}} \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 1 - Defina \( ω=h (\mu_x) \), onde \( h (\mu_x)=a+b \mu_x \), sendo \( a \) e \( b \) constantes positivas. Definindo \( H=a+b \overline{X} \) como estimador para \( ω \), temos plim \( (H)=a+b \mu_x \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 0 - Mesmo se as variáveis aleatórias \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) não fossem normalmente distribuídas, teríamos plim \( (\overline{X})=\mu_x \).