Determine as equações paramétricas da reta !$ r !$, tangente à curva formada pela interseção do paraboloide !$ z !$ = !$ x !$² + !$ y !$² com o elipsoide !$ x !$² + 3!$ y !$² + !$ z !$² = 80 no ponto (2, −2,8).

A figura mostra um círculo !$ C !$1 de equação (!$ x !$ − 2)² + !$ y !$² = 4 e um círculo !$ C !$₂, de raio !$ r !$, centrado na origem. O ponto !$ P !$ tem coordenadas (0, !$ r !$), !$ Q !$ é o ponto de intersecção dos dois círculos que pertence ao primeiro quadrante, e !$ R !$ é o ponto de intersecção da reta que contém !$ P !$ e !$ Q !$ com o eixo !$ \overrightarrow{OX} !$. O valor da abscissa de !$ R !$, quando !$ r !$ → 0⁺, é:

Considere o retângulo !$ R !$ com dimensões !$ a !$ e !$ b !$ e o retângulo !$ W !$ que circunscreve !$ R !$, de modo que cada lado de !$ W !$ contém apenas um vértice de !$ R !$. Sendo assim, determine a expressão que representa a área máxima de !$ W !$.

Usando a mudança de variável !$ z !$ = !$ k !$!$ y !$'', com !$ k !$ ∈ ℝ^∗, podemos transformar a equação !$ e !$^{3!$ t !$²}.!$ y !$''' + 2!$ t !$!$ e !$^{3!$ t !$²}.!$ y !$'' = !$ e !$^{1+2!$ t !$²}, com !$ t !$ ∈ ℝ, numa outra equação, que será nomeada de equação auxiliar. Chamando de !$ \psi !$ a solução dessa equação auxiliar, sabemos que !$ \psi !$(0) = !$ e !$² e !$ \psi !$(1) = 2!$ e !$. Assim, o valor !$ \psi !$(!$ k !$) está na alternativa:

Em cada um dos itens a seguir, a figura que está no plano cartesiano à direita é imagem da figura que está no plano cartesiano à esquerda, por uma aplicação.

I.

II.

III.

IV.

V.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Considere os vetores !$ v !$₁ = !$ e !$^{−2!$ t !$}, !$ v !$₂ = !$ e !$^{−!$ t !$}, !$ v !$₃ = !$ e !$^{!$ t !$}, !$ v !$₄ = !$ e !$^{2!$ t !$}, !$ w !$₁ = !$ s !$!$ e !$!$ n !$(−2!$ t !$), !$ w !$₂ = !$ c !$!$ o !$!$ s !$(−!$ t !$), !$ w !$₃ = !$ c !$!$ o !$!$ s !$(!$ t !$), !$ w !$₄ = !$ s !$!$ e !$!$ n !$(2!$ t !$). Considere ainda os espaços !$ V !$ e !$ W !$, gerados pelos vetores !$ v !$₁, !$ v !$₂, !$ v !$₃, !$ v !$₄ e !$ w !$₁, !$ w !$₂, !$ w !$₃, !$ w !$₄, respectivamente, isto é, !$ V !$ = ⟨!$ v !$₁, !$ v !$₂, !$ v !$₃, !$ v !$₄ ⟩ e !$ W !$ = ⟨!$ w !$₁, !$ w !$₂, !$ w !$₃, !$ w !$₄ ⟩. Defina a transformação linear !$ T !$: !$ V !$ ⟶ !$ W !$, dada por !$ T !$(!$ x !$!$ e !$^{−2!$ t !$} + !$ y !$!$ e !$^{−!$ t !$} + !$ z !$!$ e !$^{!$ t !$} + !$ w !$!$ e !$^{2!$ t !$} ) = [!$ x !$ + !$ y !$]!$ s !$!$ e !$!$ n !$(−2!$ t !$) + [!$ y !$ + !$ z !$]!$ c !$!$ o !$!$ s !$(−!$ t !$) + [!$ z !$ + !$ w !$]!$ c !$!$ o !$!$ s !$(!$ t !$) + [!$ w !$ − !$ x !$]!$ s !$!$ e !$!$ n !$(2!$ t !$).

Assim, a alternativa que apresenta a única afirmação CORRETA é:

Seja !$ I !$(!$ T !$) o conjunto imagem da transformação linear !$ T !$: ℝ³ ⟶ ℝ³, dada por !$ T !$(!$ x !$, !$ y !$, !$ z !$) = (!$ x !$ + 2!$ y !$ + 4!$ z !$, 2!$ x !$ + 3!$ y !$ + 6!$ z !$, 5!$ x !$ + 9!$ y !$ + 18!$ z !$). Uma base para !$ I !$(!$ T !$) é apresentada na alternativa

O problema de transformar uma equação do tipo !$ a !$!$ x !$² + !$ b !$!$ x !$!$ y !$ + !$ c !$!$ y !$² = 1, com !$ a !$, !$ b !$, !$ c !$ ∈ ℝ^∗, numa equação do tipo !$ \alpha !$(!$ x !$')² + !$ \beta !$(!$ y !$')² = 1, com !$ \alpha !$, !$ \beta !$ ∈ ℝ^∗, pode ser resolvido usando uma matriz apropriada que apresenta algumas características específicas. Entre as matrizes apresentadas a seguir, a única que pode ser usada para a resolução desse tipo de problema é:

Considere as afirmações a seguir.

I. Todo espaço vetorial é um anel, mas nem todo anel é um espaço vetorial.

II. Seja !$ F !$ o espaço vetorial de todas as funções reais, com domínio real, contínuas sobre o corpo ℝ. Seja !$ A !$ ⊂ !$ F !$, o subespaço gerado pelas funções !$ f !$, !$ g !$, !$ r !$, dadas por !$ f !$(!$ x !$) = !$ e !$^{!$ x !$}, !$ g !$(!$ x !$) = !$ e !$^{−!$ x !$}, !$ r !$(!$ x !$) = !$ s !$!$ e !$!$ n !$h(!$ x !$), isto é, !$ A !$ = ⟨!$ e !$^{!$ x !$}, !$ e !$^{−!$ x !$} , !$ s !$!$ e !$!$ n !$h(!$ x !$)⟩. Como a dimensão de !$ A !$ é finita, podemos estabelecer um isomorfismo entre !$ A !$ e ℝ³.

III. Seja !$ T !$: ℝ⁴ → ℝ³ uma transformação linear, tal que !$ N !$(!$ T !$) = ⟨(0,0,0,1)⟩, isto é, o núcleo de !$ T !$ é o espaço vetorial gerado pelo vetor (0,0,0,1). Defina em ℝ4 a relação ∼, dada por: !$ u !$ ∼ !$ v !$ ⇔ !$ u !$ − !$ v !$ ∈ !$ N !$(!$ T !$). Assim, podemos dizer que !$ \dfrac{ℝ^4}{∼}= !$ {!$ {\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3} !$}.

IV. Dada uma coleção infinita de subespaços de um espaço !$ V !$, é sempre possível achar um subespaço na interseção dos subespaços dessa coleção.

V. Dados !$ A !$, !$ B !$, subespaços de um espaço vetorial !$ V !$, o conjunto !$ A !$ ∪ !$ B !$ = {!$ c !$ ∈ !$ V !$: !$ c !$ ∈ !$ A !$ !$ o !$!$ u !$ !$ c !$ ∈ !$ B !$} não é um subespaço de !$ V !$.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Considere as seguintes afirmações.

I. O polinômio !$ x !$⁴ − !$ a !$ é redutível em ℝ[!$ x !$], para todo !$ a !$ ∈ ℝ*_+.

II. Todo polinômio irredutível em ℚ[!$ x !$] é redutível em ℝ[!$ x !$], da mesma forma que todo polinômio irredutível em ℝ[!$ x !$] é redutível em ℂ[!$ x !$].

III. Dados os polinômios não nulos e não constantes !$ p !$, !$ f !$, !$ g !$ ∈ ℝ[!$ x !$], podemos afirmar que !$ p !$|!$ f !$ !$ o !$!$ u !$ !$ p !$|!$ g !$ ⇔ !$ p !$|!$ f !$!$ g !$.

IV. Considerando !$ Z !$₆ = {!$ {\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4, \bar 5} !$} e a função polinomial !$ f !$: !$ Z !$₆ → !$ Z !$₆, dada por !$ f !$(!$ x !$) = !$ \bar 3 !$!$ x !$⁴ + !$ \bar 3 !$!$ x !$, podemos afirmar que a função !$ f !$ é não nula.

V. Definindo !$ I !$[!$ p !$(!$ x !$)] = {!$ p !$(!$ x !$)!$ q !$(!$ x !$):!$ q !$(!$ x !$) ∈ ℝ[!$ x !$]}, podemos afirmar que !$ I !$[!$ x !$² − 5!$ x !$ + 6] ∩ !$ I !$[!$ x !$² − 10!$ x !$ + 21] = !$ I !$[!$ x !$³ − 12!$ x !$² + 41!$ x !$ − 42].

Analisando os itens acima, podemos afirmar que: