Dois amigos, !$ A !$ e !$ B !$, iniciarão um jogo no qual um juiz lançará uma moeda, de maneira aleatória, até que saiam três resultados iguais consecutivamente, ou seja, a moeda será lançada indefinidamente até que se obtenha três caras ou três coroas consecutivas. Antes de iniciar o jogo, os dois amigos entram num acordo especificando que o jogador !$ A !$ ganhará se o resultado que se repetir três vezes consecutivas for cara e, caso saiam 3 coroas consecutivas, o jogador B ganhará. Supondo que a moeda lançada seja honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é igual à probabilidade de sair coroa, pode-se afirmar que a probabilidade do jogador !$ A !$ perder, se o primeiro lançamento deu resultado cara, é:

Um jogo de baralho inventado na Romênia, no século XVIII, consiste em 10 cartas numeradas de 1 a 10, dispostas aleatoriamente, com o número virado para baixo, ao longo de uma fila. Em cada jogada, uma única carta é virada para cima, podendo-se visualizar o número dessa carta. Sabe-se que a probabilidade de que a carta de número !$ x !$ seja virada é igual à probabilidade de que a carta de número !$ y !$ seja virada, para quaisquer números ímpares !$ x !$ e !$ y !$. Uma regra análoga a anterior vale também para quaisquer dois números pares. Por outro lado, se !$ x !$ é par e !$ y !$ é ímpar, então a probabilidade da carta de número !$ x !$ ser virada é o triplo da probabilidade da carta de número !$ y !$ ser virada. Assim, podemos afirmar que a probabilidade da primeira carta virada ser de um número primo é:

No triângulo !$ A !$!$ B !$!$ C !$, !$ A !$ = (1,3), !$ B !$ = (9,5) e !$ C !$ = (11, −4). Os pontos !$ D !$ e !$ E !$ estão sobre os lados !$ A !$!$ B !$ e !$ B !$!$ C !$, respectivamente, tais que !$ \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{CE}{EB}. !$ Se !$ Q !$ = (!$ x !$, !$ y !$) é o ponto de interseção dos segmentos !$ A !$!$ E !$ e !$ C !$!$ D !$, calcule !$ \dfrac{x}{y} !$.

Considere um polígono regular de !$ n !$ lados, inscrito em um círculo de raio !$ r !$, sejam !$ A !$₁, !$ A !$₂, ..., !$ A !$_{!$ n !$} seus vértices. Determine o valor do produto

!$ \overline {A_1A_2} !$ !$ . !$ !$ \overline {A_1A_3} !$ !$ . !$ !$ \overline {A_1A_4} !$ !$ . !$ ... !$ . !$ !$ \overline {A_1A_{n-1}} !$ !$ . !$ !$ \overline {A_1A_n} !$

O sólido !$ S !$ é um tronco de pirâmide quadrangular regular com bases cujos lados medem 24 e 8. Um plano !$ \pi !$, paralelo às bases de !$ S !$, corta esse sólido, passando no ponto de interseção de suas diagonais, formando dois novos sólidos, !$ S !$₁ e !$ S !$₂, com volumes !$ V !$₁ e !$ V !$₂, respectivamente. Sabendo que !$ S !$₁ é o sólido com a base cujo lado mede 24, e que a altura de !$ S !$ é 36, podemos afirmar que a razão !$ \dfrac{V_2}{V_1} !$ vale:

Seja !$ A !$!$ B !$!$ C !$ um triângulo acutângulo de circuncentro !$ O !$, com !$ x !$, !$ y !$, !$ z !$ denotando as distâncias de !$ O !$ em relação aos lados !$ B !$!$ C !$, !$ A !$!$ C !$ e !$ A !$!$ B !$, respectivamente. Sabendo que !$ r !$ e !$ R !$ denotam, respectivamente, os raios dos círculos inscrito e circunscrito a !$ A !$!$ B !$!$ C !$, pode-se afirmar que o valor da expressão !$ x !$ + !$ y !$ + !$ z !$ é igual a:

As diagonais !$ A !$!$ C !$ e !$ B !$!$ D !$ do trapézio !$ A !$!$ B !$!$ C !$!$ D !$ intersectam o segmento !$ E !$!$ F !$, base média de !$ A !$!$ B !$!$ C !$!$ D !$, nos pontos !$ G !$ e !$ H !$, respectivamente. Sejam !$ p !$₁ e !$ p !$₂ os perímetros dos trapézios !$ E !$!$ F !$!$ C !$!$ D !$ e !$ A !$!$ B !$!$ F !$!$ E !$, respectivamente. Sabendo que !$ \overline {AB} !$ = 30 < !$ \overline {CD} !$ e !$ \overline {GH} !$ = !$ \dfrac{3}{5} !$ !$ \overline {AB} !$, podemos afirmar que o valor de !$ p !$₁ − !$ p !$₂ é igual a:

A figura a seguir apresenta uma circunferência de centro !$ A !$, raio !$ \overline {AB} !$ e contém os pontos !$ B !$, !$ E !$, !$ G !$, !$ H !$, !$ F !$, !$ B !$', !$ E !$', !$ G !$', !$ H !$' e !$ F !$'. Sabe-se que as cordas !$ G !$!$ H !$, !$ E !$!$ F !$, !$ G !$'!$ H !$' e !$ E !$'!$ F !$' são perpendiculares a reta que contém os pontos !$ B !$', !$ D !$', !$ C !$', !$ A !$, !$ C !$, !$ D !$, !$ B !$ e as cordas !$ G !$!$ H !$, !$ E !$!$ F !$, !$ G !$'!$ H !$', !$ E !$'!$ F !$' contêm, respectivamente, os pontos !$ D !$, !$ C !$, !$ D !$’, !$ C !$’. Além disso, !$ C !$ é ponto médio de !$ A !$!$ B !$, !$ \overline {AD} !$ = 10√3!$ m !$, !$ A !$!$ B !$ = 20!$ m !$ e os pontos !$ C !$’ e !$ D !$’ são os simétricos dos pontos !$ C !$ e !$ D !$, respectivamente, em relação ao ponto !$ A !$. De posse dessas informações, é possível afirmar que a área sombreada (área das regiões do círculo, compreendidas entre as cordas !$ G !$!$ H !$ e !$ E !$!$ F !$ e entre as cordas !$ G !$'!$ H !$' e !$ E !$'!$ F !$') é, em !$ m !$²:

Dados os conjuntos !$ A !$ = {1,2,3, . . . , !$ p !$} e !$ B !$ = {1,2, . . . , !$ q !$}, tais que: |!$ A !$| = !$ p !$, |!$ B !$| = !$ q !$, sendo !$ p !$ e !$ q !$ números inteiros positivos, pode-se construir funções !$ g !$ não decrescentes, ou seja, !$ g !$(!$ i !$) ≤ !$ g !$(!$ j !$) para todo 1 ≤ !$ i !$ < !$ j !$ ≤ !$ p !$, tendo como domínio e contradomínio, respectivamente, os conjuntos !$ A !$ e !$ B !$. Como exemplo de funções desse tipo, podemos construir a função !$ g !$: !$ A !$ → !$ B !$, tal que !$ g !$(!$ x !$) = 3, para todo !$ x !$ ∈ !$ A !$. Assim, pode-se concluir que o número de funções distintas !$ g !$: !$ A !$ → !$ B !$, não decrescentes é igual a:

O quadro a seguir apresenta a sequência de números ímpares positivos {1,3,5,7,9, . . .}.

-

1

3 ---5

7 ---9 ---11

13 -15 --17 ---19

21 -23 --25 ---27 ---29

-

Sabe-se que o quadro possui !$ n !$ linhas, com !$ n !$ ∈ !$ N !$, sendo que a linha !$ k !$ possui !$ k !$ números ímpares, com 1 ≤ !$ k !$ ≤ !$ n !$. Além disso, digamos que o último elemento da linha k seja o número ímpar !$ b !$, dessa forma, o primeiro elemento da linha !$ k !$ + 1 será o número ímpar !$ b !$ + 2. Considerando que !$ n !$ ≥ 50, podemos afirmar que a soma de todos os elementos da 51ª linha é igual a: