Batimetria é a operação de medir a profundidade de lagos, rios, mares etc. O senhor S realizou a batimetria de um lago para fins de avaliação de recursos pesqueiros. Após analisar os dados obtidos, ele viu que, considerando um referencial cartesiano, devidamente escolhido, a profundidade do lago, num ponto de coordenadas (!$ x !$, !$ y !$), desse referencial cartesiano, na superfície do lago, pode ser expressa pela equação:

!$ P\left(x,y\right)=\left(\dfrac{x-20}{\sqrt{5}}\right)^2+\left(\dfrac{y-4}{2\sqrt{3}^{ }}\right)^2 !$

Posteriormente, o senhor S levou sua esposa para uma recreativa pescaria nesse lago. Porém, quando chegaram ao ponto !$ Q !$ = (17,6), ela disse que estava com medo e que não queria ir para partes com maior profundidade. Para tranquilizá-la, ele, todo orgulhoso, disse que conhecia muito bem a profundidade do lago e que continuaria a pescaria navegando sempre sobre a curva isobatimétrica, que é, basicamente, a curva formada pelos pontos que possuem sempre a mesma profundidade. Considerando que ele navegará pela curva que tem sempre a mesma profundidade, a direção na qual ele iniciou o seu deslocamento, a partir do ponto !$ Q !$, está apresentada na alternativa:

Considere o campo vetorial:

!$ F !$(!$ x !$, !$ y !$) = !$ a !$|5 + !$ \gamma !$!$ x !$|⁻¹!$ s !$!$ e !$!$ n !$(!$ \theta !$!$ y !$^{!$ b !$})!$ i^{^→} !$+ !$ l !$!$ n !$|5 + !$ \gamma !$!$ x !$|^{!$ a !$}.!$ c !$!$ o !$!$ s !$(!$ \theta !$!$ y !$^{!$ b !$})!$ y !$^{!$ b !$−1}!$ j^{^→} !$,

sendo !$ a !$, !$ b !$ números reais fixos e maiores que 1; !$ \gamma !$, !$ \theta !$ parâmetros reais com !$ \gamma !$, !$ \theta !$ ∈ (0,1) e !$ i^{^→} !$, !$ j !$ vetores da base canônica do plano cartesiano. Seja !$ C !$ o caminho composto pela união da semicircunferência de raio 2, com centro na origem, e dos segmentos de reta, cujos extremos são (0,2) e (2,0) e (0,2) e (-2,0), como mostra a figura a seguir.

Considerando!$ \overrightarrow{R} !$(!$ t !$), com !$ t !$ ∈ !$ I !$ ⊂ ℝ, uma parametrização do caminho !$ C !$, podemos dizer que ∫_c!$ \overrightarrow{F} !$ ⋅ !$ d\overrightarrow{R} !$ = ∫_c!$ \overrightarrow{F} !$ (!$ \overrightarrow{R} !$(!$ t !$)) ⋅!$ \overrightarrow{R} !$'(!$ t !$)!$ d !$!$ t !$. Dessa forma, o que podemos afirmar sobre o valor de ∫_c !$ \overrightarrow{F} !$ !$ .d !$!$ \overrightarrow{R} !$, em função das relações entre os valores de !$ a !$, !$ b !$, !$ \gamma !$, !$ \theta !$, está expresso na alternativa:

Seja !$ f !$: ℝ³ ⟶ ℝ, uma função diferenciável, !$ p !$ = (0,0,2) e !$ u !$ = ⟨0,0,3⟩ = !$ 0i^{^→} !$ + !$ 0j^{^→} !$ + 3!$ \overrightarrow{k} !$. Considere que !$ D !$!$ u !$!$ f !$(0,0,2) = !$ k !$, sendo !$ k !$ um número real estritamente positivo. Dessa forma, a afirmação !$ D !$_{!$ u !$}!$ f !$(0,0,2) = !$ k !$ significa que:

O valor da integral tripla

!$ \int_{-3}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}\int_{-\sqrt{9-x^2-y^2}}^{\sqrt{9-x^2-y^2}} !$ (!$ x !$²!$ z !$ + !$ y !$²!$ z !$ + !$ z !$⁵) !$ d !$!$ z !$!$ d !$!$ x !$!$ d !$!$ y !$

é:

Determine as equações paramétricas da reta !$ r !$, tangente à curva formada pela interseção do paraboloide !$ z !$ = !$ x !$² + !$ y !$² com o elipsoide !$ x !$² + 3!$ y !$² + !$ z !$² = 80 no ponto (2, −2,8).

A figura mostra um círculo !$ C !$1 de equação (!$ x !$ − 2)² + !$ y !$² = 4 e um círculo !$ C !$₂, de raio !$ r !$, centrado na origem. O ponto !$ P !$ tem coordenadas (0, !$ r !$), !$ Q !$ é o ponto de intersecção dos dois círculos que pertence ao primeiro quadrante, e !$ R !$ é o ponto de intersecção da reta que contém !$ P !$ e !$ Q !$ com o eixo !$ \overrightarrow{OX} !$. O valor da abscissa de !$ R !$, quando !$ r !$ → 0⁺, é:

Considere o retângulo !$ R !$ com dimensões !$ a !$ e !$ b !$ e o retângulo !$ W !$ que circunscreve !$ R !$, de modo que cada lado de !$ W !$ contém apenas um vértice de !$ R !$. Sendo assim, determine a expressão que representa a área máxima de !$ W !$.

Usando a mudança de variável !$ z !$ = !$ k !$!$ y !$'', com !$ k !$ ∈ ℝ^∗, podemos transformar a equação !$ e !$^{3!$ t !$²}.!$ y !$''' + 2!$ t !$!$ e !$^{3!$ t !$²}.!$ y !$'' = !$ e !$^{1+2!$ t !$²}, com !$ t !$ ∈ ℝ, numa outra equação, que será nomeada de equação auxiliar. Chamando de !$ \psi !$ a solução dessa equação auxiliar, sabemos que !$ \psi !$(0) = !$ e !$² e !$ \psi !$(1) = 2!$ e !$. Assim, o valor !$ \psi !$(!$ k !$) está na alternativa:

Em cada um dos itens a seguir, a figura que está no plano cartesiano à direita é imagem da figura que está no plano cartesiano à esquerda, por uma aplicação.

I.

II.

III.

IV.

V.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Considere os vetores !$ v !$₁ = !$ e !$^{−2!$ t !$}, !$ v !$₂ = !$ e !$^{−!$ t !$}, !$ v !$₃ = !$ e !$^{!$ t !$}, !$ v !$₄ = !$ e !$^{2!$ t !$}, !$ w !$₁ = !$ s !$!$ e !$!$ n !$(−2!$ t !$), !$ w !$₂ = !$ c !$!$ o !$!$ s !$(−!$ t !$), !$ w !$₃ = !$ c !$!$ o !$!$ s !$(!$ t !$), !$ w !$₄ = !$ s !$!$ e !$!$ n !$(2!$ t !$). Considere ainda os espaços !$ V !$ e !$ W !$, gerados pelos vetores !$ v !$₁, !$ v !$₂, !$ v !$₃, !$ v !$₄ e !$ w !$₁, !$ w !$₂, !$ w !$₃, !$ w !$₄, respectivamente, isto é, !$ V !$ = ⟨!$ v !$₁, !$ v !$₂, !$ v !$₃, !$ v !$₄ ⟩ e !$ W !$ = ⟨!$ w !$₁, !$ w !$₂, !$ w !$₃, !$ w !$₄ ⟩. Defina a transformação linear !$ T !$: !$ V !$ ⟶ !$ W !$, dada por !$ T !$(!$ x !$!$ e !$^{−2!$ t !$} + !$ y !$!$ e !$^{−!$ t !$} + !$ z !$!$ e !$^{!$ t !$} + !$ w !$!$ e !$^{2!$ t !$} ) = [!$ x !$ + !$ y !$]!$ s !$!$ e !$!$ n !$(−2!$ t !$) + [!$ y !$ + !$ z !$]!$ c !$!$ o !$!$ s !$(−!$ t !$) + [!$ z !$ + !$ w !$]!$ c !$!$ o !$!$ s !$(!$ t !$) + [!$ w !$ − !$ x !$]!$ s !$!$ e !$!$ n !$(2!$ t !$).

Assim, a alternativa que apresenta a única afirmação CORRETA é: