Seja !$ I !$(!$ T !$) o conjunto imagem da transformação linear !$ T !$: ℝ³ ⟶ ℝ³, dada por !$ T !$(!$ x !$, !$ y !$, !$ z !$) = (!$ x !$ + 2!$ y !$ + 4!$ z !$, 2!$ x !$ + 3!$ y !$ + 6!$ z !$, 5!$ x !$ + 9!$ y !$ + 18!$ z !$). Uma base para !$ I !$(!$ T !$) é apresentada na alternativa

O problema de transformar uma equação do tipo !$ a !$!$ x !$² + !$ b !$!$ x !$!$ y !$ + !$ c !$!$ y !$² = 1, com !$ a !$, !$ b !$, !$ c !$ ∈ ℝ^∗, numa equação do tipo !$ \alpha !$(!$ x !$')² + !$ \beta !$(!$ y !$')² = 1, com !$ \alpha !$, !$ \beta !$ ∈ ℝ^∗, pode ser resolvido usando uma matriz apropriada que apresenta algumas características específicas. Entre as matrizes apresentadas a seguir, a única que pode ser usada para a resolução desse tipo de problema é:

Considere as afirmações a seguir.

I. Todo espaço vetorial é um anel, mas nem todo anel é um espaço vetorial.

II. Seja !$ F !$ o espaço vetorial de todas as funções reais, com domínio real, contínuas sobre o corpo ℝ. Seja !$ A !$ ⊂ !$ F !$, o subespaço gerado pelas funções !$ f !$, !$ g !$, !$ r !$, dadas por !$ f !$(!$ x !$) = !$ e !$^{!$ x !$}, !$ g !$(!$ x !$) = !$ e !$^{−!$ x !$}, !$ r !$(!$ x !$) = !$ s !$!$ e !$!$ n !$h(!$ x !$), isto é, !$ A !$ = ⟨!$ e !$^{!$ x !$}, !$ e !$^{−!$ x !$} , !$ s !$!$ e !$!$ n !$h(!$ x !$)⟩. Como a dimensão de !$ A !$ é finita, podemos estabelecer um isomorfismo entre !$ A !$ e ℝ³.

III. Seja !$ T !$: ℝ⁴ → ℝ³ uma transformação linear, tal que !$ N !$(!$ T !$) = ⟨(0,0,0,1)⟩, isto é, o núcleo de !$ T !$ é o espaço vetorial gerado pelo vetor (0,0,0,1). Defina em ℝ4 a relação ∼, dada por: !$ u !$ ∼ !$ v !$ ⇔ !$ u !$ − !$ v !$ ∈ !$ N !$(!$ T !$). Assim, podemos dizer que !$ \dfrac{ℝ^4}{∼}= !$ {!$ {\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3} !$}.

IV. Dada uma coleção infinita de subespaços de um espaço !$ V !$, é sempre possível achar um subespaço na interseção dos subespaços dessa coleção.

V. Dados !$ A !$, !$ B !$, subespaços de um espaço vetorial !$ V !$, o conjunto !$ A !$ ∪ !$ B !$ = {!$ c !$ ∈ !$ V !$: !$ c !$ ∈ !$ A !$ !$ o !$!$ u !$ !$ c !$ ∈ !$ B !$} não é um subespaço de !$ V !$.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Considere as seguintes afirmações.

I. O polinômio !$ x !$⁴ − !$ a !$ é redutível em ℝ[!$ x !$], para todo !$ a !$ ∈ ℝ*_+.

II. Todo polinômio irredutível em ℚ[!$ x !$] é redutível em ℝ[!$ x !$], da mesma forma que todo polinômio irredutível em ℝ[!$ x !$] é redutível em ℂ[!$ x !$].

III. Dados os polinômios não nulos e não constantes !$ p !$, !$ f !$, !$ g !$ ∈ ℝ[!$ x !$], podemos afirmar que !$ p !$|!$ f !$ !$ o !$!$ u !$ !$ p !$|!$ g !$ ⇔ !$ p !$|!$ f !$!$ g !$.

IV. Considerando !$ Z !$₆ = {!$ {\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4, \bar 5} !$} e a função polinomial !$ f !$: !$ Z !$₆ → !$ Z !$₆, dada por !$ f !$(!$ x !$) = !$ \bar 3 !$!$ x !$⁴ + !$ \bar 3 !$!$ x !$, podemos afirmar que a função !$ f !$ é não nula.

V. Definindo !$ I !$[!$ p !$(!$ x !$)] = {!$ p !$(!$ x !$)!$ q !$(!$ x !$):!$ q !$(!$ x !$) ∈ ℝ[!$ x !$]}, podemos afirmar que !$ I !$[!$ x !$² − 5!$ x !$ + 6] ∩ !$ I !$[!$ x !$² − 10!$ x !$ + 21] = !$ I !$[!$ x !$³ − 12!$ x !$² + 41!$ x !$ − 42].

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Dois amigos, !$ A !$ e !$ B !$, iniciarão um jogo no qual um juiz lançará uma moeda, de maneira aleatória, até que saiam três resultados iguais consecutivamente, ou seja, a moeda será lançada indefinidamente até que se obtenha três caras ou três coroas consecutivas. Antes de iniciar o jogo, os dois amigos entram num acordo especificando que o jogador !$ A !$ ganhará se o resultado que se repetir três vezes consecutivas for cara e, caso saiam 3 coroas consecutivas, o jogador B ganhará. Supondo que a moeda lançada seja honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é igual à probabilidade de sair coroa, pode-se afirmar que a probabilidade do jogador !$ A !$ perder, se o primeiro lançamento deu resultado cara, é:

Um jogo de baralho inventado na Romênia, no século XVIII, consiste em 10 cartas numeradas de 1 a 10, dispostas aleatoriamente, com o número virado para baixo, ao longo de uma fila. Em cada jogada, uma única carta é virada para cima, podendo-se visualizar o número dessa carta. Sabe-se que a probabilidade de que a carta de número !$ x !$ seja virada é igual à probabilidade de que a carta de número !$ y !$ seja virada, para quaisquer números ímpares !$ x !$ e !$ y !$. Uma regra análoga a anterior vale também para quaisquer dois números pares. Por outro lado, se !$ x !$ é par e !$ y !$ é ímpar, então a probabilidade da carta de número !$ x !$ ser virada é o triplo da probabilidade da carta de número !$ y !$ ser virada. Assim, podemos afirmar que a probabilidade da primeira carta virada ser de um número primo é:

No triângulo !$ A !$!$ B !$!$ C !$, !$ A !$ = (1,3), !$ B !$ = (9,5) e !$ C !$ = (11, −4). Os pontos !$ D !$ e !$ E !$ estão sobre os lados !$ A !$!$ B !$ e !$ B !$!$ C !$, respectivamente, tais que !$ \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{CE}{EB}. !$ Se !$ Q !$ = (!$ x !$, !$ y !$) é o ponto de interseção dos segmentos !$ A !$!$ E !$ e !$ C !$!$ D !$, calcule !$ \dfrac{x}{y} !$.

Considere um polígono regular de !$ n !$ lados, inscrito em um círculo de raio !$ r !$, sejam !$ A !$₁, !$ A !$₂, ..., !$ A !$_{!$ n !$} seus vértices. Determine o valor do produto

!$ \overline {A_1A_2} !$ !$ . !$ !$ \overline {A_1A_3} !$ !$ . !$ !$ \overline {A_1A_4} !$ !$ . !$ ... !$ . !$ !$ \overline {A_1A_{n-1}} !$ !$ . !$ !$ \overline {A_1A_n} !$

O sólido !$ S !$ é um tronco de pirâmide quadrangular regular com bases cujos lados medem 24 e 8. Um plano !$ \pi !$, paralelo às bases de !$ S !$, corta esse sólido, passando no ponto de interseção de suas diagonais, formando dois novos sólidos, !$ S !$₁ e !$ S !$₂, com volumes !$ V !$₁ e !$ V !$₂, respectivamente. Sabendo que !$ S !$₁ é o sólido com a base cujo lado mede 24, e que a altura de !$ S !$ é 36, podemos afirmar que a razão !$ \dfrac{V_2}{V_1} !$ vale:

Seja !$ A !$!$ B !$!$ C !$ um triângulo acutângulo de circuncentro !$ O !$, com !$ x !$, !$ y !$, !$ z !$ denotando as distâncias de !$ O !$ em relação aos lados !$ B !$!$ C !$, !$ A !$!$ C !$ e !$ A !$!$ B !$, respectivamente. Sabendo que !$ r !$ e !$ R !$ denotam, respectivamente, os raios dos círculos inscrito e circunscrito a !$ A !$!$ B !$!$ C !$, pode-se afirmar que o valor da expressão !$ x !$ + !$ y !$ + !$ z !$ é igual a: