Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operação de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a operação, em cada quadrado remanescente, obtem-se a Figura C. Qual será a área remanescente, a partir da quadrado da Figura A, ao final de 10 operações?

Os valores para !$ s !$ e !$ t !$ são escolhidos no intervalo !$ (0,r) !$, tais que !$ s + t < r !$. Considere três segmentos de reta com comprimentos !$ s !$ , !$ t !$ e !$ r - s - t !$. Qual a probabilidade desses segmentos formarem um triângulo?

Seja a equação do terceiro grau em !$ x !$:

!$ x^3 + p_1x^2 + p_2x + p_3 = 0 !$

onde !$ p_1 < p_2 < p_3 !$ são números primos menores que 100. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de !$ p_2 + p_3 !$ deve ser:

Seja o número complexo !$ z = (1 - 2 \sqrt 2i)^{12} !$. Sabe-se que !$ m = |z| !$. O valor de !$ x !$ na expressão !$ 2x = log_m(27m) !$ é:

Seja !$ \alpha ∈ \mathbb R !$ e !$ z_1, z_2, z_3 !$ números complexos tais que !$ |z_1| = |z_2| = |z_3| = 4 !$ e !$ z_1 \ne z_2 !$. O menor valor de !$ |\alpha z_1 - (\alpha -1)z_2 - z_3| !$, é:

Quantos pares ordenados !$ (x; y) !$ de números inteiros satisfazem a equação !$ 1 / x + 1 / y = 1/23 !$?

Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função

!$ f(x) = In \left ( \big| - { \large 7 \over 12} +x -x^2 \big|^{3x-1} \right) !$

e que passam pelo ponto !$ \left ( { \large 1 \over 3}, f \left ( { \large 1 \over 3}\right) \right) !$.

O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:

Seja B o conjunto de todos os valores de !$ x ∈ \mathbb R !$ para os quais a soma dos termos da progressão

!$ - { \large 4 \over 3x} , { \large 16 \over 9x^2}, - { \large 64 \over 27x^3}, { \large 256 \over 81x^4}, ... !$

assume um valor finito. Define-se a função !$ f : B \rightarrow \mathbb R !$, para cada !$ x ∈ B !$, tal que

!$ f(x) = - { \large 4 \over 3x} , { \large 16 \over 9x^2}, - { \large 64 \over 27x^3}, { \large 256 \over 81x^4} - ... !$

A soma das raízes da equação !$ f(x) = -x, x ∈ B !$, é:

Um planeta P₁ foi arremessado de sua órbita original O₁ ao redor de sua estrela S₁ no Sistema Solar 1 e desde então vaga pelo Universo com velocidade constante v₁. Em um determinado momento, ao passar pelo Sistema Solar 2, P₁ se choca frontalmente com um planeta P₂, que se encontra no afélio de sua órbita O₂ em torno de sua única estrela, S₂. O choque entre os dois planetas é perfeitamente inelástico e resulta na criação de um novo planeta P₃.

Dados:

• módulo da velocidade tangencial de P₂ no afélio de O₂: v₂;

• módulo da velocidade de P₁: v₁ = 3v₂;

• massa de P₁ = 10^-8 x massa da estrela S₂; e

• massa de P₂ = massa de P₁.

Sobre a órbita O₃ de P₃ em torno de S₂, é verdadeiro afirmar que:

Seja o sistema

!$ \begin{cases} 3x^2_1 + 3x^2_2 + 3x^2_3 = 6x_4 - 1 \\ 3x^2_1 + 3x^2_2 + 3x^2_4 =6x_3 - 1 \\ 3x^2_1 + 3x^2_3 + 3x^2_4 = 6x_2 - 1 \\ 3x^2_2 + 3x^2_3 + 3x^2_4 = 6x_1 - 1 \end{cases} !$

O valor de !$ { \large 1 \over x_1} + { \large 1 \over x_2} + { \large 1 \over x_3} + { \large 1 \over x_4} !$ é: