Em uma aula de astronomia, a professora explicou para seus alunos que os elementos orbitais, ou elementos keplerianos, são um conjunto de parâmetros que permitem caracterizar a posição de um corpo celeste, natural ou artificial, em uma determinada órbita. A professora solicitou para um de seus alunos que citasse três parâmetros orbitais.

Então, o aluno apresentou os seguintes elementos:

I. Inclinação da órbita

II. Longitude do nodo ascendente

III. Constante gravitacional universal

Dos elementos citados pelo aluno, estão corretos:

Nas atividades espaciais, o estudo das trajetórias que os veículos devem seguir para completar uma missão é de grande importância, sobretudo as manobras realizadas com o uso de motores, conhecidas como manobras impulsivas.

Sobre as manobras orbitais impulsivas, é correto afirmar que

Sobre as leis de Newton, assinale a afirmativa correta.

Uma partícula de massa igual a 2kg se movimenta em linha reta. A aceleração da partícula é diretamente proporcional ao tempo t. Sabe-se que quando t = 0 a velocidade da partícula é igual a 16m/s, e que quando t = 1 s, a velocidade da partícula é igual a 15m/s.

O valor do módulo da força resultante aplicada à partícula do quinto segundo de movimento é igual a

A modelagem matemática de diversos fenômenos físicos resulta em equações ou sistemas de equações diferenciais ordinárias, cujos métodos de solução são de grande interesse e aplicação para as áreas de engenharias. Considere que a modelagem das tensões em V em dois componentes de um circuito elétrico, denominadas \( v_C (t) \) e \( v_R (t) \), com respeito ao acionamento no instante inicial de uma fonte de tensão \( v_{EX}(t) \) é dada pela seguinte equação:

\( \begin{cases} 2\dfrac{d^2v_C(t)}{dt^2}+4\dfrac{dv_c(t)}{dt}+8v_c(t)-2v_R(t)=v_{EX}(t)\\\dfrac{dv_R(t)}{dt}+3\dfrac{dv_C(t)}{dt}+7v_R(t)=0\end{cases} \)

Sabendo que a fonte de tensão \( v_{EX}(t) \) produz uma tensão constante de 10 V ao ser acionada, o equacionamento acima representado pode ser descrito por um sistema de equações diferenciais de 1a ordem dado por:

\( \dfrac{d}{dt}\begin{bmatrix} v_K\\v_C\\v_R \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} v_K\\v_C\\v_R \end{bmatrix}+B \), onde \( v_K(t)=\dfrac{dv_C(t)}{dt} \)

Nessas condições, as matrizes \( A \) e \( B \) são, respectivamente,

A resposta descrita pelos estados de um sistema dinâmico possui duas componentes: resposta natural e resposta forçada. De particular interesse é a resposta natural, a qual depende apenas da matriz de transição de estados \( \phi(t) \) e das condições iniciais desses estados. Considere um determinado sistema dinâmico linear e invariante no tempo, cuja matriz de estados pode ser fatorada em \( MLM^{−1} \) , onde as matrizes L e M são definidas por

\( L=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1 \end{bmatrix} \) e
\( M=\begin{bmatrix} 1&0\\-3&2 \end{bmatrix} \).

A matriz de transição de estados \( \phi(t) \) desse sistema é:

A representação de sistemas dinâmicos por modelo de espaço de estados estabelece um significado físico-conceitual às características matemáticas das matrizes de estado que compõem tal modelo. Nesse diapasão, ressalta-se os autovalores e autovetores da matriz de estados, os quais estão intimamente ligados a caracterização da dinâmica desse sistema.

Considere que um sistema dinâmico possui uma matriz de estado \( J \), a qual é descrita a seguir:

\( J=\begin{bmatrix} -2&0&1&0&1\\0&-2&1&&1&0\\1&0&1&0&0\\0&1&1&-2&0\\1&0&1&0&-2 \end{bmatrix} \)

Sabe-se ainda que esta matriz possui um autovetor \( v \), onde \( v = [0\,−1\,0\,1\,0] \). Nessas condições, um dos autovalores da matriz \( J \) é

Existe grande interesse no desenvolvimento de algoritmos mais eficientes para cálculo de autovalores, sobretudo em matrizes esparsas e de alta ordem, as quais naturalmente advém da modelagem de sistemas dinâmicos reais de grande porte.

Nesse contexto, considere um sistema de grande porte representado por uma matriz \( P \) dada por:

\( P=\begin{bmatrix}-1&3&0&0\\3&-1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1 \end{bmatrix} \)

Um dos autovalores da matriz \( P \) é

Os quaternions são uma espécie de extensão dos números complexos para três dimensões, muito utilizados na física e engenharias, como por exemplo no equacionamento da orientação de robôs manipuladores.

Considere os quaternions \( Q_1 \) e \( Q_2 \), dados por:

\( Q_1 = 1 − i \) e \( Q_2 = i − j + k \)

Sabendo que o quaternion \( Q_3 \) é dado por \( Q_3 = Q_1Q_2 \), o módulo de \( Q_3 \) é