Um estatístico utilizou um modelo de regressão linear simples, !$ Y \, = \, \beta_0 \, + \, \beta_1 \, X \, + \, \varepsilon, !$ para fazer predições.

O modelo, com 20 observações, foi bem ajustado, atendendo a todos os pressupostos necessários, e os resultados foram:

!$ \hat{\beta_0} \, = \, 5; \, \hat{\beta_1} \, = \, 1,5; !$ soma dos quadrados dos resíduos, 9; variância de x, 28 e média de x, 22.

O intervalo bilateral de 95% de confiança para predição quando !$ x \, = \, 18 !$ é, aproximadamente:

Um experimento de campo para aprimoramento do combate ao ataque de formigas testou o efeito de um novo modelo de porta-iscas.

O experimento consistiu em espalhar 20 porta-iscas do novo modelo e, após um período de tempo, verificou-se o consumo das iscas em cada um dos recipientes.

Os resultados foram computados do seguinte modo: quando o consumo das iscas foi maior que a mediana histórica do consumo, registrou-se um sinal “+” (positivo), quando menor, um sinal “-” negativo e, se o consumo foi igual ao consumo mediano, o registrado foi um ponto “.”.

Os resultados do experimento foram: 15 positivos, 3 negativos e 2 pontos.

Para auxiliar nos cálculos, segue a tabela que apresenta os valores de 0,5¹⁵; 0,5¹⁸ e 0,5²⁰ multiplicados por uma constante k:

Utilizando o nível de 5% de significância, a conclusão do teste de hipótese é:

Duas sociedades empresárias, X e Y, produzem o mesmo produto e têm seus processos de produção sob controle e centrados no ponto médio da faixa de especificação.

Ambas operam com os limites de tolerâncias de 3 desvios padrões, ou seja, 3 sigmas acima e 3 sigmas abaixo do ponto médio.

Sabe-se que a amplitude da faixa de especificação é 0,21 e que os desvios padrões para as unidades X e Y são, respectivamente, 0,03 e 0,04. Com base na capacidade do processo (Cp), conclui-se que:

Um estatístico deseja testar se os efeitos de utilizar dois lubrificantes, de marcas diferentes, no processo de fabricação de uma indústria, são distintos.

Para isso, ele planeja executar um experimento controlado, aplicando cada marca de lubrificantes em uma amostra de máquinas idênticas, ou seja, a escolha das máquinas não afeta o resultado do teste. As amostras de máquinas para testar cada lubrificante têm o mesmo tamanho.

Desse modo, o estatístico selecionou uma amostra aleatória simples, supondo a população infinita, com distribuição normal, e desvios padrões conhecidos iguais a 1,5 e 1,6.

O número de máquinas selecionadas para testar cada lubrificante, de tal forma que o erro na estimação da diferença entre as médias observadas seja menor que 1, com 95% de confiança, é:

Um processo experimental gera vetores com grande quantidade de observações.

Em uma execução do experimento, são gerados 5 milhões de vetores, cada um de tamanho 1.000.

Para reduzir o espaço de armazenamento de dados, armazena-se apenas a soma, !$ \Sigma_{\chi}, !$ e a soma dos quadrados, !$ \Sigma_{\chi^2}, !$ as observações de cada vetor.

Se, para um destes vetores, !$ \Sigma \, \chi \, = \, 800 !$ e !$ \Sigma \, \chi^2 \, = \, 999,64, !$ então o coeficiente de variação é, aproximadamente:

Um estatístico deseja selecionar uma amostra aleatória simples, com reposição, de uma população em que a variância é conhecida e igual a 40.000.

A amostra precisa atender ao seguinte critério:

A amplitude máxima do intervalo bilateral de 95% de confiança para a média populacional deve ser de 200.

O menor tamanho de amostra que atende à condição descrita acima é:

A função que representa um fenômeno físico é y = 10+ 4x.

Sabendo-se que x é uma variável aleatória com variância igual a 10, a variância de y é:

O gráfico a seguir representa uma série temporal.

Com a finalidade de identificar o modelo, devem ser observadas a função de autocorrelação (FAC) e a função de autocorrelação parcial (FACP) da série com uma diferença que está ilustrada nos gráficos a seguir.

Seja a notação de modelo tipo ARIMA (p, d, q), sendo p, a ordem da parte autorregressiva; d, o grau da diferenciação; e q, a ordem da parte de médias móveis.

O modelo que melhor representa a série temporal é:

Sejam os modelos ARIMA(2,0,0) a seguir.

I. !$ z_t \, = \, 0,4z_{t-1} \, + \, 0,8z_{t-2} \, + \, \varepsilon_t !$

II. !$ z_t \, = \, 0,8z_{t-1} \, - \, 04z_{t-2} \, + \, \varepsilon_t !$

III. !$ z_t \, = \, -0,4z_{t-1} \, + \, 0,8z_{t-2} \, + \, \varepsilon_t !$

Sendo !$ ( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \, ... \, , \, \varepsilon_t) !$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, iid, com média zero e variância constante, ou seja, os !$ \varepsilon_t \, ' s, !$ formam uma sequência de ruídos brancos.

A condição de estacionariedade é satisfeita somente no(s) modelo(s):

Um Tribunal de Justiça deseja obter uma amostra de tamanho 3.000 de uma população de 60.000 ações. Esse Tribunal possui um cadastro em que cada ação está associada, sequencialmente, a um número (começando com o número 1 e terminando com o número 60.000).

De posse do referido cadastro e considerando o tamanho da amostra solicitada, o pesquisador utilizou o seguinte procedimento para a seleção da amostra:

1. Determinou o intervalo de seleção da amostra dividindo o total da população pelo tamanho da amostra: 60.000/3.000=20;

2. Elegeu aleatoriamente um número inteiro, entre [1, 20]. Essa foi a primeira ação selecionada;

3. A próxima ação selecionada foi definida pela soma do intervalo de seleção ao número selecionado na etapa 2.

E, assim, sucessivamente, foram determinados os próximos elementos, acrescentando-se ao selecionado anteriormente o intervalo de seleção da amostra.

O número escolhido na etapa de número 2 foi 17; logo, a primeira ação selecionada foi a de número 17; a seguinte, a de número 37, seguida da de número 57, e assim sucessivamente.

O milésimo elemento selecionado nessa amostra foi a ação de número: