Julgue como certo ou errado o item abaixo:

Item 4 - Dada a equação em diferenças !$ χ_{t+2}-χ_{t+1}+χ_t=0 !$, a única solução tal que existe o limite !$ \underset{t\rightarrow +\infty }{\lim } χ_t !$ satisfaz !$ χ_t=0 !$, para todo !$ t \ge 0 !$.

Julgue como certo ou errado o item abaixo:

Item 3 - O sistema de EDOs

!$ \begin{cases} \ddot{x} = x+y \\ \dot{y}= x-y \end{cases} !$

tem um único ponto de equilíbrio dado por !$ (0,0) !$ e para todo par de soluções !$ (x,y) !$, onde !$ x,y: \mathbb{R} to \mathbb{R} !$, vale que !$ \underset{t\rightarrow +\infty }{\lim } (x(t),y(t))=(0,0) !$.

Julgue como certo ou errado o item abaixo:

Item 2 - As funções !$ χ_1(t)=\cos (t) !$ e !$ χ_2(t)=-2 \sin (t+^\pi/_2) !$ são soluções particulares para a EDO dada por !$ \ddot{χ}+χ=0 !$ e sua solução geral !$ χ:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ satisfaz !$ χ(t)=c_1 \cos (t)+c_2 \sin(t+^\pi/_2) !$, onde !$ c_1 !$, !$ c_2 !$ !$ ∈ \mathbb{R} !$.

Julgue como certo ou errado o item abaixo:

Item 1 - Uma solução particular !$ y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ para e !$ EDO \,\ddot{χ}- 4 \dot{χ}+4 χ=-\cos (2t) !$ é do tipo !$ y(t)= a \cos (2t) !$, onde !$ a ∈ \mathbb{R} !$ é uma constante a ser determinada.

Julgue como certo ou errado o item abaixo:

Item 0 - Dada a equação diferencial ordinária !$ (EDO) \ddot{χ} - 6 \dot{χ}+9χ=0 !$, as funções !$ χ_1(t)=-e^{3t} !$ e !$ χ_2(t)=2te^{3t} !$, são soluções particulares desta EDO e sua solução geral é dada por !$ χ(t)=c_1e^{3t}+c_2te^{3t} !$, onde !$ c_1 !$, !$ c_2 ∈ \mathbb{R} !$

Sejam os números !$ a ∈ \mathbb{R} !$ e !$ b ∈ \mathbb{R} !$ parâmetros do problema de maximizar a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por

!$ f(χ_1, χ_2)=-χ^4_1+χ^2_1-{\large{χ^2_2\over 2}}+2χ_2 !$

sujeito às restrições !$ aχ_1+χ_2=b !$, !$ χ_1 \ge 0 !$, e !$ χ_2 \ge 0 !$. Chamamos esse problema de P. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 4 - Quando !$ a=b=1 !$, em qualquer solução !$ (χ^*_1, χ^*_2) !$ do problema P, o gradiente satisfaz !$ ∇ f (χ^*_1, χ^*_2) \ne (0,0) !$.

Sejam os números !$ a ∈ \mathbb{R} !$ e !$ b ∈ \mathbb{R} !$ parâmetros do problema de maximizar a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por

!$ f(χ_1, χ_2)=-χ^4_1+χ^2_1-{\large{χ^2_2\over 2}}+2χ_2 !$

sujeito às restrições !$ aχ_1+χ_2=b !$, !$ χ_1 \ge 0 !$, e !$ χ_2 \ge 0 !$. Chamamos esse problema de P. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 3 - Quando !$ a > 0 !$ e !$ b=0 !$, qualquer solução !$ (χ^*_1, χ^*_2) !$ do problema P satisfaz !$ χ^*_2=2χ^*_1 !$.

Sejam os números !$ a ∈ \mathbb{R} !$ e !$ b ∈ \mathbb{R} !$ parâmetros do problema de maximizar a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por

!$ f(χ_1, χ_2)=-χ^4_1+χ^2_1-{\large{χ^2_2\over 2}}+2χ_2 !$

sujeito às restrições !$ aχ_1+χ_2=b !$, !$ χ_1 \ge 0 !$, e !$ χ_2 \ge 0 !$. Chamamos esse problema de P. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 2 - Quando !$ a=b=0 !$, o problema P não tem solução.

Sejam os números !$ a ∈ \mathbb{R} !$ e !$ b ∈ \mathbb{R} !$ parâmetros do problema de maximizar a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por

!$ f(χ_1, χ_2)=-χ^4_1+χ^2_1-{\large{χ^2_2\over 2}}+2χ_2 !$

sujeito às restrições !$ aχ_1+χ_2=b !$, !$ χ_1 \ge 0 !$, e !$ χ_2 \ge 0 !$. Chamamos esse problema de P. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 1 - Quaisquer que sejam os valores de !$ a !$ e !$ b !$, se o gradiente !$ ∇ f(χ^*_1,χ^*_2)=(0,0) !$, então !$ (χ^*_1,χ^*_2) !$ resolve o problema P.

Sejam os números !$ a ∈ \mathbb{R} !$ e !$ b ∈ \mathbb{R} !$ parâmetros do problema de maximizar a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por

!$ f(χ_1, χ_2)=-χ^4_1+χ^2_1-{\large{χ^2_2\over 2}}+2χ_2 !$

sujeito às restrições !$ aχ_1+χ_2=b !$, !$ χ_1 \ge 0 !$, e !$ χ_2 \ge 0 !$. Chamamos esse problema de P. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 0 - A matriz Hessiana da função !$ f !$ em qualquer ponto !$ χ ∈ \mathbb{R}^2 !$ é negativa definida.