No espaço vetorial \( \mathbb{R}^2 \), cada vetor \( x=(x_1,x_2) \) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _M=max\{ \left\vert x_1 \right\vert , \left\vert x_2 \right\vert \} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid_E=\sqrt{x^2_1+x^2_2} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _S= \left\vert x_1 \right\vert + \left\vert x_2 \right\vert \). Fixados \( \alpha \), \( \beta ∈ [0,1] \), considere a matriz \( A=\begin{bmatrix} \alpha & 1 & - \alpha \\ \beta & 1 & - \beta \end{bmatrix} \). Ainda, denote por \( (x,y) \) o produto interno canônico entre dois vetores \( x,y ∈ \mathbb{R}^2 \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 4 - A função \( F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definida pela regra \( F(x)=(x, Ax) \) satisfaz \( \left\vert F(x) \right\vert \le \mid \left\vert Ax \right\vert \mid_M \) sempre que \( \mid \left\vert x \right\vert \mid_S=1 \).

No espaço vetorial \( \mathbb{R}^2 \), cada vetor \( x=(x_1,x_2) \) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _M=max\{ \left\vert x_1 \right\vert , \left\vert x_2 \right\vert \} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid_E=\sqrt{x^2_1+x^2_2} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _S= \left\vert x_1 \right\vert + \left\vert x_2 \right\vert \). Fixados \( \alpha \), \( \beta ∈ [0,1] \), considere a matriz \( A=\begin{bmatrix} \alpha & 1 & - \alpha \\ \beta & 1 & - \beta \end{bmatrix} \). Ainda, denote por \( (x,y) \) o produto interno canônico entre dois vetores \( x,y ∈ \mathbb{R}^2 \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 3 - Se \( 0 < \alpha < 1 \) e \( 0 < \beta < 1 \), então a matriz \( A \) define uma bijeção \( L: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) por meio da expressão \( L(x)=Ax \).

No espaço vetorial \( \mathbb{R}^2 \), cada vetor \( x=(x_1,x_2) \) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _M=max\{ \left\vert x_1 \right\vert , \left\vert x_2 \right\vert \} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid_E=\sqrt{x^2_1+x^2_2} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _S= \left\vert x_1 \right\vert + \left\vert x_2 \right\vert \). Fixados \( \alpha \), \( \beta ∈ [0,1] \), considere a matriz \( A=\begin{bmatrix} \alpha & 1 & - \alpha \\ \beta & 1 & - \beta \end{bmatrix} \). Ainda, denote por \( (x,y) \) o produto interno canônico entre dois vetores \( x,y ∈ \mathbb{R}^2 \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 2 - Se \( \alpha + \beta =1 \) e \( \alpha > \beta \), então \( A \) é uma matriz simétrica que cumpre \( (x, Ax) > 0 \) para todo \( x ∈ \mathbb{R}^2 \) tal que \( x ≠ (0,0) \).

No espaço vetorial \( \mathbb{R}^2 \), cada vetor \( x=(x_1,x_2) \) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _M=max\{ \left\vert x_1 \right\vert , \left\vert x_2 \right\vert \} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid_E=\sqrt{x^2_1+x^2_2} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _S= \left\vert x_1 \right\vert + \left\vert x_2 \right\vert \). Fixados \( \alpha \), \( \beta ∈ [0,1] \), considere a matriz \( A=\begin{bmatrix} \alpha & 1 & - \alpha \\ \beta & 1 & - \beta \end{bmatrix} \). Ainda, denote por \( (x,y) \) o produto interno canônico entre dois vetores \( x,y ∈ \mathbb{R}^2 \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 1 - \( x=(x_1,x_2) ∈ \mathbb{R}^2 \) é tal que \( \left\vert x_1 \right\vert = \left\vert x_2 \right\vert = 1 \), então \( \mid \left\vert x \right\vert \mid_M= \mid \left\vert x \right\vert \mid_E = \mid \left\vert x \right\vert \mid_S \).

No espaço vetorial \( \mathbb{R}^2 \), cada vetor \( x=(x_1,x_2) \) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _M=max\{ \left\vert x_1 \right\vert , \left\vert x_2 \right\vert \} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid_E=\sqrt{x^2_1+x^2_2} \), \( \mid \left\vert x \right\vert \mid _S= \left\vert x_1 \right\vert + \left\vert x_2 \right\vert \). Fixados \( \alpha \), \( \beta ∈ [0,1] \), considere a matriz \( A=\begin{bmatrix} \alpha & 1 & - \alpha \\ \beta & 1 & - \beta \end{bmatrix} \). Ainda, denote por \( (x,y) \) o produto interno canônico entre dois vetores \( x,y ∈ \mathbb{R}^2 \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 0 - Se \( x ∈ C=\{ z ∈ \mathbb{R}^2: \mid \left\vert z \right\vert \mid_M=1\} \), então \( Ax ∈ C \).

Seja \( \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} \) o conjunto dos números naturais. Para cada \( n ∈ \mathbb{N} \), \( P_n=\{1,2,...,n\} \) denota o conjunto dos \( n \) primeiros números naturais. Dado \( X ⊆ \mathbb{N} \), denote por \( S(X) \) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \( S(X)=\{A ⊆ \mathbb{N} : A ⊆ X\} \). Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X (cardinalidade de X); por exemplo, card \( (P_n)=n, ∀\, n ∈ \mathbb{N} \). Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é \( X \Delta Y=\{x ∈ \, X \, ∪ \, Y: x \, ∉ \, X \, ∩ \, Y\} \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 4 - A função \( F: \mathbb{N} \rightarrow S (\mathbb{N}) \) definida pela regra \( F(n)=P_{n+1} \) é injetora.

Seja \( \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} \) o conjunto dos números naturais. Para cada \( n ∈ \mathbb{N} \), \( P_n=\{1,2,...,n\} \) denota o conjunto dos \( n \) primeiros números naturais. Dado \( X ⊆ \mathbb{N} \), denote por \( S(X) \) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \( S(X)=\{A ⊆ \mathbb{N} : A ⊆ X\} \). Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X (cardinalidade de X); por exemplo, card \( (P_n)=n, ∀\, n ∈ \mathbb{N} \). Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é \( X \Delta Y=\{x ∈ \, X \, ∪ \, Y: x \, ∉ \, X \, ∩ \, Y\} \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 3 - Para todo \( n ∈ \mathbb{N} \), é verdade que \( P_n \Delta P_1 ∈ S (P_{n+1}) \).

Seja \( \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} \) o conjunto dos números naturais. Para cada \( n ∈ \mathbb{N} \), \( P_n=\{1,2,...,n\} \) denota o conjunto dos \( n \) primeiros números naturais. Dado \( X ⊆ \mathbb{N} \), denote por \( S(X) \) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \( S(X)=\{A ⊆ \mathbb{N} : A ⊆ X\} \). Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X (cardinalidade de X); por exemplo, card \( (P_n)=n, ∀\, n ∈ \mathbb{N} \). Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é \( X \Delta Y=\{x ∈ \, X \, ∪ \, Y: x \, ∉ \, X \, ∩ \, Y\} \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 2 - Existe função sobrejetora de \( P_{2025} \) para \( P_{2024} \).

Seja \( \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} \) o conjunto dos números naturais. Para cada \( n ∈ \mathbb{N} \), \( P_n=\{1,2,...,n\} \) denota o conjunto dos \( n \) primeiros números naturais. Dado \( X ⊆ \mathbb{N} \), denote por \( S(X) \) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \( S(X)=\{A ⊆ \mathbb{N} : A ⊆ X\} \). Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X (cardinalidade de X); por exemplo, card \( (P_n)=n, ∀\, n ∈ \mathbb{N} \). Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é \( X \Delta Y=\{x ∈ \, X \, ∪ \, Y: x \, ∉ \, X \, ∩ \, Y\} \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 1 - Se \( A \), \( B \), \( C ∈ S (P_3) \) satisfazem as condições card \( (A \Delta B)=1 \) e card \( (B \Delta C)=1 \), então card \( (A \Delta C)=1 \).

Seja \( \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} \) o conjunto dos números naturais. Para cada \( n ∈ \mathbb{N} \), \( P_n=\{1,2,...,n\} \) denota o conjunto dos \( n \) primeiros números naturais. Dado \( X ⊆ \mathbb{N} \), denote por \( S(X) \) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \( S(X)=\{A ⊆ \mathbb{N} : A ⊆ X\} \). Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X (cardinalidade de X); por exemplo, card \( (P_n)=n, ∀\, n ∈ \mathbb{N} \). Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é \( X \Delta Y=\{x ∈ \, X \, ∪ \, Y: x \, ∉ \, X \, ∩ \, Y\} \). Julgue certo ou errado o item abaixo:

Item 0 - \( P_5 ⊆ P_4 \, ∪ \{5\} \).