Uma cidade tem a população aproximada de 100.000 pessoas. Sabe-se que as alturas dessas pessoas têm uma distribuição normal com média 1,65 m e desvio padrão 8 cm. Essa tabela apresenta valores aproximados de !$ F_z(z_0)=P(Z\le\,z_0) !$, sendo Z uma variável aleatória com distribuição normal padronizada (ou seja, com média igual a zero e desvio padrão igual a um).

As melhores estimativas (aproximadas para centenas) para n₁, n₂ e n₃, sendo n₁ a quantidade de pessoas da cidade que têm altura de no mínimo 1,77 m, n₂ a quantidade de pessoas da cidade que têm altura de no máximo 1,73 m e n₃ a quantidade de pessoas da cidade que têm altura de no mínimo 1,49 m, são respectivamente

Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

!$ P(X=K)=a.k,\,\,se\,\,k\,\,∈\,\,J= !$ {1, 2, 3, 4, 5, … , 98, 99, 100}, em que !$ a !$ é uma constante (e, portanto, independente de !$ k\,\,∈\,\,J !$), !$ P(X=K) !$ = 0, se !$ k !$ !$ ∉ !$ !$ J !$.

Se necessário, utilize a fórmula a seguir, válida para todo n inteiro positivo:

!$ \sum_{j=1}^nj=\dfrac{n(n+1)}{2} !$

É correto afirmar que

Um produto notável bem conhecido é

!$ x^2-y^2=(x-y).(x+y). !$

Utilizando-se essa equação, é possível obter um resultado interessante.

!$ 1=(n+1)-n=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) !$

Com relação à soma

!$ S=\sum_{n=1}^{399}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{399}+\sqrt{398}}+\dfrac{1}{\sqrt{400}+\sqrt{399}}, !$

é correto afirmar que

Sejam o conjunto !$ A= !$ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função !$ f !$: !$ \mathbb{Z} !$ → !$ A !$ definida por !$ f(x)=t !$, em que !$ t !$ é o resto da divisão de x por 7. Por exemplo, !$ f !$(100) = 2, já que o resto da divisão de 100 por 7 é igual a 2 (100 = 14 X 7 + 2).

Considerando os números !$ β_1 !$ = 1001, !$ β_2 !$ = 3¹⁰⁰ e !$ β^3 !$ = 1.000.000.000, é correto afirmar que !$ f(β_1),f(β_2) !$ e !$ f(β_3) !$ são, respectivamente, iguais a

Logaritmos aparecem frequentemente em ciências, como física e química, notadamente em situações em que grandezas apresentam uma grande variação (valor máximo bastante superior ao mínimo). Por exemplo, a escala Richter para medição da magnitude de um terremoto é uma escala logarítmica, assim como o pH, que mede a concentração de íons H⁺. Outras aplicações aparecem no estudo da desintegração radioativa, e no uso da técnica de carbono 14 para a datação de cadáveres.

A definição de logaritmo é !$ log_ba=x\Longleftrightarrow\,b^x=a !$. Desta forma, tem-se, por exemplo,

log₂ 4096 = 12, log₈ 4096 = 4 e log₃ 81 = 4, uma vez que

212 = 4096, 8⁴ = 4096 e 3⁴ = 81.

Se x satisfaz a equação !$ log_2x+log_4x+log_8x=\dfrac{22}{3} !$, então o valor de !$ x !$ é igual a

Uma função !$ f !$: !$ \mathbb{C} !$ → !$ \mathbb{C} !$ é inteira se for analítica em todo !$ z_0 !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{C} !$.

A analiticidade de uma função de variável complexa pode ser verificada por meio das equações de Cauchy-Riemann. Sendo !$ z=x+y\,i !$, com !$ x,y !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$, qual das seguintes funções é inteira?

Considere a seguinte matriz quadrada de ordem 3:

!$ A=\begin{bmatrix} 1&0&0\\2&2&3\\0&5&10 \end{bmatrix}∈\,M_3(\mathbb{R}). !$

O traço de uma matriz quadrada !$ X !$ é a soma dos elementos da diagonal principal. O traço de !$ X !$ será denotado por !$ tr !$!$ (X) !$. Então,

!$ tr(X)=\sum_{j=1}^nx_{jj}. !$

Usando a notação !$ Y^t !$ para designar a transposta de uma matriz Y, é possível escrever A = B + C, sendo B uma matriz simétrica (ou seja, !$ B^t=B !$) e C uma matriz antissimétrica (isto é, !$ C^t=-C !$). Para encontrar B e C, sugere-se escrever !$ A^t !$ em função de B e C, obtendo-se um “sistema de equações” para B e C em termos de !$ A !$ e !$ A^t !$ É correto afirmar que

Considere a transformação linear !$ T !$: !$ \mathbb{R}^3 !$ → !$ \mathbb{R}^3 !$cuja expressão é !$ T(x,y,z)=(3x-y-3z,2y-3z,-z) !$. É correto afirmar que

Sejam V_A e V_B os volumes dos sólidos A e B em !$ \mathbb{R^3} !$, respectivamente, em que

!$ A= !$ { !$ (x,y,z) ∈ \mathbb{R^3}:36x^2+8y^2+9\,z^2\le\,72 !$} e

!$ B= !$ { !$ (x,y,z) ∈ \mathbb{R^3}:x^2+y^2+z^2\le9 !$}.

Então, V_A e V_B são iguais, respectivamente, a

Sejam A e B as cônicas em !$ \mathbb{R^2} !$, cujas equações são 9!$ x^2 !$ + 4!$ y^2 !$ = 36 e 4!$ x^2 !$ + 9!$ y^2 !$ = 36, respectivamente. Seja !$ d_A !$ a distância entre os focos da cônica A. Seja, ainda, !$ d_B !$ a distância entre os focos da cônica B. Com base nisso, assinale a alternativa correta.