Dadas duas funções !$ f !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$ e !$ g !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$, considere o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI) para a equação diferencial parcial conhecida como equação da onda:

!$ u_{tt} !$ = !$ c^2u_{xx} !$, !$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$, !$ t !$ > 0,

!$ u(x,0)=f(x),x ∈ \mathbb{R} !$ ,

!$ u_t(x,0)=g(x) !$, !$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$,

em que c é uma constante e !$ f(x) !$ e !$ g(x) !$ são as condições iniciais. Assumindo que !$ f(0)=2 !$, !$ g(0)= 0 !$ e que esse PVI tem uma solução !$ u !$ de classe !$ C^2 !$ em !$ \mathbb{R} !$ !$ \times !$ [0, !$ ∞ !$] tal que !$ u_x(x,t)= !$ - sen(!$ x !$ - !$ ct !$), quais são os valores de !$ f(π) !$ e !$ g(π) !$?

Se !$ A !$: !$ \mathbb{R} ^2 !$ → !$ \mathbb{R} ^2 !$ é um operador linear invertível tal que !$ A !$(2 , -3) = (-6 , -6) e !$ A !$(-6 , 6) = (18 , 12), assinale a alternativa que apresenta os vetores que constituem, respectivamente, a primeira e a segunda colunas da matriz de !$ A^{-1} !$ (a inversa de !$ A !$) relativamente à base canônica do espaço euclidiano !$ \mathbb{R} ^2 !$.

Um número real !$ a !$ é dito um ponto de acumulação do conjunto !$ X !$ !$ ⊂ !$ !$ \mathbb{R} !$ quando todo intervalo aberto centrado em a contém uma infinidade de elementos de !$ X !$. O conjunto de todos os pontos de acumulação de !$ X !$ é normalmente indicado por !$ X !$’. Sendo assim, para !$ X !$ = (0 , 1) !$ ∩ !$ !$ \mathbb{Q} !$, isto é, a intersecção do intervalo aberto (0 , 1) com o conjunto !$ \mathbb{Q} !$ dos números racionais, assinale a alternativa que apresenta corretamente o conjunto !$ X !$’.

Seja A: !$ \mathbb{R}^2 !$ → !$ \mathbb{R}^2 !$ um operador linear autoadjunto, isto é, vale a igualdade ⟨;!$ Au !$ , !$ v !$⟩; = ⟨;!$ u !$ , !$ Av !$⟩;, para todos !$ u !$, !$ v !$ ∈ !$ \mathbb{R}^2 !$, em que ⟨; ∙ , ∙ ⟩; representa o produto interno canônico do espaço euclidiano !$ \mathbb{R}^2 !$. Se A(-1 , 2) = (1 , 4) e a matriz de A na base canônica de !$ \mathbb{R}^2 !$ tem traço igual a 6, então o determinante desta matriz é

A média geométrica entre dois números positivos é definida como a raiz quadrada do produto desses números. Então, se em um triângulo retângulo a medida de um dos catetos é a média geométrica entre a medida do outro cateto e a medida da hipotenusa, qual é o seno do menor ângulo desse triângulo?

Considere as sequências numéricas !$ S_n=\sum_{k=1}^n k^1(i^k+i^{-k}) !$ e !$ T_n=\sum_{k=1}^n k^1(i^{2k}+i^{-2k}) !$ , em que !$ i !$ é a unidade imaginária, isto é, satisfaz !$ i^2 !$ = -1. Qual o valor da soma !$ S_{2022} !$ + !$ T_{2022} !$?

A reta !$ ax+by=c !$ que melhor se ajusta ao conjunto de dados !$ D= !${(-1, -2), (1,2), (2,3)} no sentido dos mínimos quadrados é

Dada a função !$ f(x,y)=(x^2+axy+y^2,bxy-ax) !$, para que !$ F(x,y) !$ seja localmente inversível no ponto (1,1) é necessário que

Considere um problema de classificação bidimensional com duas classes !$ C_1 !$ e !$ C_2 !$ embasado na teoria de classificação Bayesiana. Sabe-se que os vetores de features em cada classe são normalmente distribuídos com matriz de covariância Σ !$ =σ^2I !$, sendo !$ I !$ a matriz identidade. Suponha também que ambas as classes são equiprováveis e que os vetores médios de cada classe são !$ μ_1=(0,\dfrac{1}{2}) !$ e !$ μ_1=(2,-1) !$ . Nessa situação, a reta de decisão para esse classificador é

O algoritmo da regressão logística é muito utilizado para a classificação binária pela facilidade de implementação e de uso. Este modelo, para o caso binário, tem como objetivo calcular a probabilidade de um dado vetor de features !$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R}^n !$ ser classificado como 0 ou 1, tendo como base um vetor de parâmetros !$ w !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R}^n !$ e um parâmetro real !$ b !$. Nesse contexto. Assinale a alternativa que corresponde ao modelo matemático para o cálculo das probabilidades utilizado pela regressão logística.